2.3.2. Формулы крамера и метод обратной матрицы

Формулы Крамера применяются при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля.

Решение системы линейных уравнений находится по формулам Крамера:

где |A| — определитель матрицы А, определённой нами выше, |A_j| — определитель, полученный из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 2.9. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

Х₁ + Х₂ + Х₃ + Х₄ = 10

Х₁ - Х₂ + Х₃ - Х₄ = -2

2Х₁ - 3Х₂ +4Х₃ + Х₄ = 12

3Х₁ +4Х₂ - 3Х₃ +9Х₄ = 38

Решение. Вычислим определитель матрицы A:

Определитель , следовательно, система совместна и обладает единственным решением. Вычислим определители |A_j|, j=1, …, 4:

Аналогично вычисляем определители |A₂|, |A₃|, |A₄|: |A₂| = -136, |A₃| = -204, |A₄| = -272. Решение системы имеет вид:

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

Методом обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. Решение матричного уравнения имеет вид: Х=А^-1В (получено из системы, записанной в матричной форме, определённой в пункте 2.3.1.).

Пример 2.10. Решить систему линейных уравнений матричным методом:

3Х₁-Х₂=1

2Х₁+Х₂-3Х₃=-5

Х₁+2Х₂+Х₃=8.

Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения:

Вычислим матрицу, обратную для матрицы А:

Найдем вектор неизвестных Х: Откуда получаем решение системы: Х₁ = 1, Х₂ = 2, Х₃ = 3.

После нахождения решения целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №4

Решите систему линейных уравнений двумя способами (после решения необходимо выполнить проверку):

• по формулам Крамера;

• матричным способом.

1) 2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8 2) X₁ + 8X₂ - 7X₃ = 12

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7

2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7 6X₁ + 8X₂ -17X₃ = 17

3) 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 7 4) 6X₁ + 6X₂ -14X₃ = 16

5X₁ +11X₂ -16X₃ = 21 2X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 8

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 9

5) -7X₁ + 3X₂ +8X₃ = 75 6) 13X₁ - 6X₂ = 32

9X₁ - 4X₂ = -3 8X₁ +4X₂ + 1X₃ = 12

X₁ - 7X₂ - 3X₃ = 12 2X₁ + 9X₂ + 5X₃ = -5

7) 7X₁ - 4X₂ = 61 8) 6X₁ + 3X₂ + 9X₃ = -111

8X₁ +9X₂ - 6X₃ = 48 -7X₁ - 4X₂ - 2X₃ = 52

9X₁ - 6X₂ - 2X₃ = 99 X₁ - 7X₂ + 3X₃ = -47

9) -5X₁ + 7X₂ +11X₃ = -2 10) 2X₁ + X₂ + 3X₃ = 11

2X₁ + 6X₂ + 3X₃ = 11 3X₁ + 2X₂ - 5X₃ = -20

3X₁ - 5X₂ + 4X₃ = 11 5X₁ - 2X₂ +3X₃ = -4

11) 2X₁ + 3X₂ - 6X₃ = 18 12) X₁ + 7X₂ - 5X₃ = 25

4X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 15

2X₁ + 2X₂ - 5X₃ = 10 6X₁ + 8X₂ -17X₃ = 17

13) 2X₁ + 5X₂ - 5X₃ = 25 14) 6X₁ + 2X₂ -X₃ = 16

5X₁ +11X₂ -16X₃ = 21 2X₁ + X₂ - 8X₃ = 36

4X₁ + 2X₂ - X₃ = 8 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 90

15) -X₁ + 3X₂ +8X₃ = 24 16) 12X₁ - 6X₂ = 45

9X₁ - 4X₂ = -36 8X₁ +X₂ + 7X₃ = 56

X₁ - 7X₂ - 3X₃ = 12 2X₁ + 9X₂ + 5X₃ = -5

17) 7X₁ - 4X₂ = 60 18) 6X₁ + 2X₂ + 9X₃ = -81

8X₁ +9X₂ - 3X₃ = 48 -7X₁ - 4X₂ - 2X₃ = 52

9X₁ - 6X₂ - 2X₃ = 99 X₁ - 5X₂ + 3X₃ = -45

19) -3X₁ + 7X₂ +5X₃ = -20 20) 2X₁ + 5X₂ + 3X₃ = 110

2X₁ + 6X₂ + 2X₃ = 120 3X₁ + 2X₂ - 3X₃ = -20

3X₁ - 5X₂ + 4X₃ = 90 5X₁ - 12X₂ +3X₃ = -4

21) 2X₁ + 7X₂ - 8X₃ = 80 22) X₁ + 8X₂ - 3X₃ = 90

14X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 90 2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 70

2X₁ + 3X₂ - 5X₃ = 70 X₁ + 8X₂ -15X₃ = 120

23) 2X₁ + 3X₂ - X₃ = 7 24) 6X₁ + 6X₂ -X₃ = 16

5X₁ +5X₂ -16X₃ = 25 5X₁ + 5X₂ - 8X₃ = 80

X₁ + 3X₂ - 9X₃ = 9 4X₁ + 3X₂ + 9X₃ = 90

25) -7X₁ + 3X₂ +8X₃ = 64

9X₁ - 4X₂ = -30

X₁ - 7X₂ - 2X₃ = 14