logo
Методичка_ММИО_2006

3.1.1. Общая постановка задачи линейного программирования

Общая задача линейного программирования (ОЗЛП) может быть сформулирована следующим образом: найти значения переменных Х1, Х2,…,Хn, максимизирующие линейную форму

(x1,x2,…,xn)= c1x1+…+cnxn (3.1)

при условиях

, i= 1,…,m1 (m1m) (3.2)

, i=m1+1,…,m (3.3)

xj 0, j=1,…,p (pn)

Соотношения (3.2) и (3.3) будем называть соответственно функциональными и прямыми ограничениями задачи линейного программирования (ЗЛП).

Значения переменных Хj (j=1,2,…,n) можно рассматривать как компоненты некоторого вектора =(Х12,…,Хn) пространства Еn.

Определение. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования будем называть вектор пространства Еn, компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи.

Множество всех планов задачи линейного программирования (3.1) – (3.3) будем обозначать Р.

Теорема 1.1 Множество планов Р задачи линейного программирования (ЗЛП) есть замкнутое выпуклое множество.

Множество Р может быть как ограниченным, так и неограниченным, кроме того оно может оказаться пустым.

Напомним, что множество точек Р пространства En есть выпуклое множество, если вместе с любыми двумя его точками и ему принадлежит и любая выпуклая линейная комбинация этих точек, то есть если , , то и любая точка

, 0 ≤ λ ≤ 1

также принадлежит множеству Р.

Множество точек =(Х12,…,Хn) пространства En , компоненты которых удовлетворяют условию

C1X1+ C2X2+…+ CnXn = b,

называется гиперплоскостью пространства En.

Множество точек =(Х12,…,Хn) пространства En , компоненты которых удовлетворяют условию

C1X1+ C2X2+…+ CnXn ≤ b ( ≥b ),

называется полупространством пространства En.

Очевидно, что гиперплоскость и полупространство являются выпуклыми множествами пространства En.

Напомним, что точка выпуклого множества К является крайней, если в К не существует таких точек и , ≠ , что

, при некотором .

Геометрически это означает, что эта крайняя точка не может лежать внутри отрезка, соединяющего две точки выпуклого множества. Она лишь может быть одной из концевых точек этого отрезка.

Определение. План =(Х1*,…Хn*) будем называть решением задачи линейного программирования или ее оптимальным планом, если

Определение. Будем говорить, что задача линейного программирования разрешима, если она имеет хотя бы один оптимальный план.