Домашнее задание №1

Составить математическую модель задачи.

1. Завод-производитель высокоточных элементов для автомоби­лей выпускает два различных типа деталей: Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел .-ч. в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y — 2 чел.-ч. Производ­ственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедель­но завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существу­ет также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число произ­водимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Составить математическую модель задачи, если необходимо получить информацию, сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю при том, что доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ф. ст., а от производства одной детали типа Y—40 ф. ст.?

2. Завод по производству электронного оборудования выпускает персональные компьютеры и системы подготовки текстов. В настоящее время освоены две модели:

а) "Юпитер" — объем памяти 1 Гб, одинарный дисковод;

б) "Марс" — объем памяти 2 Гб, двойной дисковод.

В производственный процесс вовлечены три цеха завода — цех узловой сборки, сборочный и испытательный. Распределение времени, требуемого для обработки каждой модели в каждом цехе, а также максимальные производственные мощности цехов приведены в табл. Отдел исследований рынка производит периодическую оценку потребительского спроса на каждую модель. Максимальные прогнозные значения спроса и доходы от реализации единицы продукции каждой модели также содержатся в табл.

Построить математическую модель для изложенной проблемы производства изделий в ассортименте, если цель состоит в максимизации общего ежемесячного дохода.

Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе

3. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить 100000 ф. ст. капитала таким образом, чтобы получать максимальные годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен двумя возможными объектами инвестиций: А и В. Объект А позволяет получать 6% годовых, объект В — 8% годовых. Для всех объектов степень риска и условия размещения капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал, менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций необходимо вложить в объект А. Чтобы обеспечить ликвидность, не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект В. Особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было вложено не менее 30% капитала. Сформулируем для изложенной проблемы распределения инвестиций математическую модель.

4. "Princetown Paints Ltd" выпускает два основных типа румян —перламутро­вые и матовые — с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (ф. ст.).

Стоимость 1 чел.-ч составляет 3 ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси — 4 ф. ст. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч в неделю.

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на перламутровые румяна — 29000 л в неделю.

Требуется сформулировать математическую модель задачи, позволяющую определить объемы производства матовых и перламутровых румян в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли.

5. Администрация компании "Nemesis Company", осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббатс-филде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого — расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим:

В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие - 2000 ф. ст.;

Неквалифицированные рабочие - 1500 ф. ст.

2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.

3. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпа­дать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, свя­занные с увольнением и переменой места жительства части рабочих.

6. Компания "Bermuda Paint" — частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака — 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел .-ч. в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется:

а) Построить линейную модель для производственной проблемы, с которой столкнулась компания.

б) Используя графический метод, определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.

7. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необ­ходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отхо­дов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.

8. В отделе технического контроля (ОТК) некоторой фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки ОТК за 8-часовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер разряда 1 проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев. Контролер разряда 2 проверяет 15 изделий в час; и его точность составляет 95%.

Заработная плата контролера разряда 1 равна 4 долл. в час, контролер разряда 2 получает 3 долл. в час. При каждой ошибке контролера фирма несет убыток в размере 2 долл. Фирма может использовать 8 контролеров разряда 1 и 10 контролеров разряда 2. Руководство фирмы хочет определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на контроль будут минимальными.

9. Фирма, специализирующаяся на производстве полуфабрикатов, выпускает три различных продукта, каждый из которых получается путем определенной обработки картофеля. Фирма может закупить картофель у двух различных поставщиков. При этом объемы продуктов 1, 2, 3, которые можно получить из одной тонны картофеля первого поставщика, отличаются от объемов, получаемых из того же количества картофеля второго поставщика. Соответствующие показатели приведены в таблице

Какое количество картофеля следует купить у каждого из поставщиков?

10. Фирма, имеющая лесопильный завод и фабрику, на которой изготавливается фанера, столкнулась с проблемой наиболее рационального использования лесоматериалов. Чтобы получить 2.5 м³ комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2.5 куб. м еловых и 7.5 куб. м пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 кв.м фанеры требуется 5 куб. м еловых и 10 куб. м пихтовых материалов. Фирма имеет 80 куб. м еловых и 180 куб. м пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 куб. м пиломатериалов и 1200 кв. м фанеры. Доход с 1 куб. м пиломатериалов составляет 16 долл., а со 100 кв. м фанеры  60 долл.

Определить оптимальные объемы производства пиломатериалов и фанеры.

Составить математическую модель задачи.

11. Производитель элементов центрального отопления изготовливает радиаторы 4 моделей (A,B,C,D). Ограничения на производство обусловлены количеством рабочей силы и количеством стальных листов, из которых изготавливают радиаторы.

Кол-во стального листа- не более 2500 м², количество человеко-часов- не более 500.

Рыночный спрос на радиаторы В и С составляет, соответственно, 10 и 30 штук.

Решите задачу с максимезацией прибыли в качестве целевой функции.

12. Фирма производит три вида продукции (A, B, C), для выпуска каждого из них требуеться определенное время обработки на всех 4 устройствах I, II, III, IV.

Пусть время работы на устройствах соответственно 64, 32, 41 и 52 часа. Определите, какую продукцию и в каких количествах следует производить. Рыночный спрос на продукцию А составляет 5 штук.

Рассмотреть задачу максимизации прибыли.

13. Прибыль от изделий A, B ,C составляет, соответственно, 13, 14, 15 единиц. Для каждого изделия требуется время использования станка I и II, которые доступны, соответственно, 18 и 14 часов в день:

Найдите оптимальный план производства, если задан план производства продукции В = 2 единицам.

14. Фирма, выпускающая трикотажные изделия, использует для производства продукции 2 вида сырья.

Найти план выпуска готовой продукции, максимизирующий прибыль, если задан план производства свитеров = 100 единицам.

15. В торговом зале необходимо выставить для продажи товары Т1 и Т2. Рабочее время продавцов не превышает 340 часов, а площадь торгового зала, которую можно занять не превышает 120 м². Каждая реализованная единица товара приносит прибыль, соответственно, в 50 и 80 ден. ед. Нормы затрат ресурсов на единицу проданного товара приведены в таблице:

Найти оптимальную структуру товарооборота (чем меньше единиц товара, тем лучше), обеспечивающую прибыль не менее 30000 ден. ед.

16. Фирма занимается составлением диеты, содержащей по крайней мере 20 единиц белков, 30 единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40 единиц витаминов. Как дешевле всего достичь этого при указанных в таблице ценах на 1 кг( или 1л) имеющихся продуктов?

Известно, что хлеб, соя и фрукты будут включены в рацион в размере, соответственно, 2, 1 и 5 единиц.

17. Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы- не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используеться смесь четырех компонентов. Данные о ресурсах приведены в таблице:

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А- 76, чтобы его себестоимость была минимальной. Необходимо использовать заданное количество тонн компонентов №1 и №4, составляющее, соответственно, 150 и 100 тонн.

18. В пекарне для выпечки 4 видов хлеба используются мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся оборудование позволяет переработать в сутки не более 250 кг муки I сорта, 200 кг муки II сорта, 60 кг маргарина и 1380 штук яиц.

Определить суточный план выпечки хлеба, максимизирующий прибыль, при котором хлеба вида 2 и 3 будет выпечено по 100 килограмм.

19. Прядильная фабрика для производства 2 видов пряжи использует три типа сырья- чистую шерсть, капрон и акрил.

Требуется составить план производства пряжи с целью максимизации суммарной прибыли.

20. Чаеразвесочная фабрика выпускает чай сорта А и В, смешивая 3 ингредиента: индийский, грузинский и краснодарский чай.

Требуется составить план производства чая, максимизирующий прибыль.

21. Оптика выпускает 3 вида продукции: обыкновенные очки, солнцезащитные очки и контактные линзы. Для производства используются 3 вида сырья: A, B, C.

Расходы сырья приведены в таблице:

Составить план производства продукции, максимизирующий прибыль, учитывая, что спрос на контактные линзы составляет 50 единиц.

22. Завод выпускает 3 вида мотоциклов: кроссовый, спортивный, грузовой. Для их изготовления используется сырье 3 типов: S1,S2,S3, где:

S1 – сталь;

S2 – резина;

S3 – пластмасса.

Норма расхода каждого из видов сырья на 1 мотоцикл и объем расхода сырья на 1 день приведены в таблице:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида мотоцикла, максимизирующий суммарную прибыль, если известно, что грузовых мотоциклов необходимо выпустить 10 штук.

23. Фабрика молочных изделий производит йогурты двух видов A и B (большие – 500 гр. и маленькие – 800 гр.). В день реализуется до 1500 йогуртов. Для производства одной баночки йогурта требуется 400 гр. «основы», а для производства одной баночки вида B – 200 гр. «основы». Всего «основы» в неделю изготавливается 8000 кг. На изготовление одной баночки А расходуется 5 мин., на изготовление баночки В расходуется 3 мин.. Всего оборудование в неделю можно использовать 150 часов. Получить максимальную прибыль, если прибыль с одной баночки йогурта А составляет 4 рубля, а с одной баночки В – 2 рубля.

24. Фирма производит одежду двух видов: платья и костюмы. В неделю фирма продает 600 изделий. Для каждого платья требуется 3 м. полотна, а для костюма 5 м. Фирма в неделю получает 1200 м. полотна. Для шиться 1 платья требуется 30 минут, а для шиться костюма 40 минут. Оборудование может использоваться не больше 80 часов в неделю. Если прибыль от продаж платья – 50$, то от костюма – 85$. Сколько надо изделий выпускать в неделю для получения максимальной прибыли.

25. Текстильная фабрика специализируется по выпуску изделий 4 видов: свитера, футболки, куртки и брюки. При этом используется сырье 4 видов: S1, S2, S3, S4.

Составить план производства, максимизирующий прибыль. Задан план производства курток и брюк, составляющий, соответственно, 200 и 100 единиц.