Математическое и имитационное моделирование.

1. Простейшие бифуркации одномерных систем. Модель Изинга, фазовые переходы 1-го и второго рода, точка Кюри, спиновое стекло, жесткие, мягкие бифуркации, их связь с фазовыми переходами 1-го и 2-го рода.

2. (не обязательно) Формула Больцмана, её вывод из принципа максимума энтропии.

3. Персептрон, персептронная выразимость. Градиентный метод обучения. Метод отжига.

4. Нейросеть Кохонена. Связь скорости обучения и потребного числа шагов. Возможный критерий слияния классов.

5. Фазовые портреты линейных двумерных систем, собственные вектора, собственные значения и инварианты матриц, SD- диаграмма. Бифуркационные переходы общего и необщеего положения.

6. Логистическое отображение. Сколько параметров модели Ферхльюста остаются неустранимыми при (линейной) замене координат. Упорядочить в порядке Шарковского числа abcd,abcd-1,abcd+1,abcd+2,abcd+3,abcd+4,abcd+5. Теорема Ли-Йорке. Универсальность порядка Шарковского. Сечение Пуанкаре. Причины воспроизведения каскада бифуркаций при переход к хаосу в системе Рёсслера и нарушения этого же порядка в системе Лоренца.

7. Критерии устойчивости для цикла. Гиперустойчивость. Порядок Шарковского.

8. Уравнение Ферхльюста. Максимально обезразмерьте модель и проведите качественной исследование. Решите модель аналитически методом разделения переменных. Вопрос в сторону: какие полезные свойства этой функции могут использоваться в нейросетях обучаемых градиентным методом (Back-Propagation).

9. Модели популяционной динамики, в т.ч. модель хищник жертва.

10. Динамический хаос. Примеры систем. Понятие странного аттрактора. Консервативные и неконсервативные системы. Системы, заданные непрерывным-дифференциальным уравнением и дискретным отображением.

11. Метод Галёркина. Система Лоренца. (Можно система Тьюринга-модель реакция диффузия).

12. Модель Д.С.Чернавского борьбы стандартов. Пространственная форма модели (Модель Малкова-Чернавского).

13. Модель Пер-Бака и другие модели самоорганизованной критичности.

14. Методы исследования дискретных отображений. Критерий устойчивости неподвижных точек для одномерного и для многомерного отображения. Критерий сохранения фазового объёма в дискретном отображении.

15. Методы исследования непрерывных дифференциальных уравнений и систем. Критерий устойчивости неподвижных точек для одномерного уравнения и для многомерной системы. Критерий сохранения фазового объёма в непрерывном случае.

16. Методы исследования жестких систем. Нетривиальная взаимо-зависимость амплитуды и частоты в жёстком цикле. Системы типа Фитсхью-Нагума, связь одномерных бифуркационных диаграмм и некоторых главных изоклин жестких систем. Замена некоторых – быстрых - дифференциальных уравнений на аналитические. Модель деятельности нейрона.

17. Методы исследования дискретных отображений. Критерий устойчивости неподвижных точек для одномерного и для многомерного отображения. Критерий сохранения фазового объёма в дискретном отображении.

18. Характеристические уравнения и собственные вектора. SD-диаграмма.

19. Кондратьевские циклы и модель бистабильности на рынке труда.

20. Модели циклических колебаний в экономике.

21. Уравнение Фоккера-Планка и другие уравнение в частных производных. Уравнение переноса и теплопроводности. Уравнение Лапласа. Решение 1-мерного уравнения Фоккера-Планка. Температура, потенциал и равновесная плотность распределения. Разносные схемы (для уравнения переноса, спектральнуй признак).

22. Метод динамического программирования.

23. Моделирование систем массового обслуживания (+задача в задачнике).

24. Модель обучения Капустина. Методы исследования дискретных отображений. Сведение околодиагональных систем к непрерывным дифференциальным уравнениям.

25. Подкова Смейла, теорема Шильникова, гомоклиническая и гетеролиническая точка и структуры.

26. Разложение в ряды Тейлора, круги сходимости, приближённые формулы расчёта корней, синусов, экспонент и т.д.

27. Фрактальная размерность, кривые типа пеано, голоморфная динамика (множество Мандельброта), связь с логистическим отображением.

28. Сечение Пуанкаре, сигнатура и условия на суммы собственных значений трехмерных диссипативных и недиссипативных непрерывных хаотических систем, и сведение трехмерных систем к одномерным дискретным отображениям. Связь с логистическим отображением - условие возникновение порядка Шарковского при переходе к хаосу в трехмерных непрерывных диссипативных динамических системах.

29. Задача о реконструкции аттрактора.

30. Энтропии Реньи.

1минималистский вариант неудобен: чтобы избежать коллизий вариантов, с каждым студентом пришлось бы встречаться, чтобы в условиях нехватки уникальных вариантов последовательно раздать номера персонально и записывая их, (при большом количестве больших потоков это очень обременительно). Варианты бы повторялись между потоками. Это привело бы к появлению решений. (Кстати распечатка и транспортировка документа размером более 1000 страниц представили бы собой отдельный подвиг).

125