Анализ иерархий. Классический случай.

Теория расчёта по методу анализа иерархий.

Обработка матриц парных сравнений:

Для применения метода анализа иерархий нам требуется разбить оценки так, чтобы их сумма была равна единице. Для лица принимающего решения (эксперта) представляет сложность распределить оценки между несколькими объектами сразу, когда их число значительно более двух. Матрицы парных сравнений вводятся для облегчения жизни экспертов, с учётом особенностей человеческой системы обработки информации. Все помнят сюжет советского «школьного» мультика о единицах измерения, в котором друг относительно друга измерялись различные животные.

По мотивам известного мультфильма в котором обсуждались единицы измерения, организуем выбор домашнего животного. Конечное решение принимает Вася (условно "сын режиссёра мультфильма"). Он впредь вынужден выступать под агентурным псевдонимом ЛПР – лицо принимающее решения.

Рассчитаем веса – найдем главный собственный вектор. Все столбцы согласованной матрицы являются этим собственным вектором (остальным векторам соответствую нулевые собственные значения)

Обычно считается это итерационным методом сжимающих отображений в общем случае. В этом случае берётся произвольный стартовый вектор, запускается процесс . Независимо от начальных условий получаем главный собственный вектор (в ситуации единственности главного значения он примерно однозначен).

В связи с нулевым рангом матрицы парных сравнений, когда она согласованна, стартуя с вектора из всех 1:

= (1,1,..,1,1).

Полученный вектор весов-вероятностей не нормированный. Поделим его на суму компонент, чтобы получить вектор с единичной суммой компонент при сохранении относительной величины весов

(считать разрешаем почти сколь угодно приближённо, важно чтобы сумма была равна 1. Рекомендуется сначала вычислить маленькие значения, а потом посчитать большое).

Аналогично можно вычислить

Красота

Сравним важность ума, габаритов (длины) и красоты.

(Последняя матрица очевидно несогласованная)

Произведём синтез. Для этого транспонируем последний ответ и умножим его на матрицу составленную из столбцов,,транспонированных и взятых в порядке следования критериев.

Осталось посчитать ошибку.

Матрицы критериев нижнего уровня очевидно согласованны их главные собственные значения 3, и ИС=0. При решении мы это не проверяли. Поясним как это посчитать: для расчета собственного значения для уже данного собственного вектора нужно его преобразовать матрицей, в результате (по определению собственного вектора) получим удлинённый враз вектор. Имеет место равенство

- искомое значение. Отсюда

(эту формулу не надо путать с ранее применяемой для расчёта самого формулой или ).

Для ЛПРа Васи

,

,

,

.

Рассчитаем ошибку иерархии. Для этого просуммируем ошибку ЛПРа 100%, вес критериев остальных уровней поочерёдно - последовательно находится на всех промежуточных этапах синтеза. Ошибку каждого критерия надо умножить на его вес, т.е. на меру его вклада в итоговое решение, например ошибки второго уровня умножаются на веса критериев второго уровня, которые, в отличие от критериев более низкого уровня - не присутствующих в данной задаче - известны непосредственно из матрицы ЛПР:

.

Примерно ясно, что нам нужно отнормировать на интенсивность, точнее матожидание порождения ошибки матрицей конкретного размера и на число этажей. Это и делается в один приём: делением на сумму матожиданий ошибок случайных матриц размеров, представленных на каждом критериальном этаже нашей иерархии

- в нашем случае представлены два этажа . Сами матожидания известны из справочной таблицы приведённой в начале данного раздела. Вам рекомендуется помнить три значения

Ответ:

По суме набранных очков с точки зрения ЛПР Васи победила Обезьяна (с оценкой 0,44). Ошибка синтеза , что составляет приемлемую величину и позволяет отделить результат победителя от второго места (0,30 - Удав).

Таблица нормировки ошибок

Другие примеры расчета весов на базе матриц парных сравнений:

Расчёт ошибки с помощью собственного вектора

При расчёте ошибки нормировка исходного вектора не важна:

Нам пришлось делить на 10, ибо в данном примере был взят вектор длины 10.

Расчет ошибки

Приблизительно

16. АИ-3 (За 3 задачи). Методичка Дмитриев. Презентация Анализ иерархий.

Решить методом анализа иерархий задачу сравнения трёх автомобилей. Все автомобили были сравнен по двум критериям грузоподъёмность

и скорость

в результате чего были получены две матрицы парных сравнений размера 3х3.

Важность каждого критерия оценивала тройка экспертов в том числе дедушка, мама, папа. Их мнения отражают матрицы 2х2, приведённые на рисунке.

Мнение дедушки отражает матрица ,,.

Значимость (компетенция) каждого эксперта была оценена матрицей парных сравнений .

В ответе написать одноуровневую новую иерархию с новыми весами. В процессе оформления на исходной иерархии отметить индексы согласованности, на графе иерархии отметить все веса и индексы согласованности.

Для подсказки приведём схему умножения матриц при проведении конечного синтеза

и оценку согласованности всей иерархии через ошибки матриц парных сравнений

19. (2 условные задачи)Сравнить методом ELECTRE4 альтернативы по критериям

При весах критериев.

Чтобы устранить неопределённость сумму коэффициентов согласия α и несогласия β можно держать 1: β=1-α.

20. Пример двухуровневый анализ иерархий (классический ВАРИАНТ)

Легенда - лицо принимающее решение по трем критериям выбирает машину из трёх альтернатив

Рассчитаем веса критериев

,

Последовательно рассчитаем оценки

,

,

,

.

Макси-минный метод анализа иерархий для неограниченных множеств вариантов.

Несмотря на все достоинства классического метода он имеет недостаток - неспособность сравнивать большие множества альтернатив. На практике множество вариантов более 10 считается большим и для него применяется классическая математика нечётких множеств.

Пример иерархического синтеза на математике нечётких множеств.

Допустим нам необходимо выбрать из трёх альтернатив по трём критериям (все оценки заданы на изображённой иерархии).

Расчёт

.

Максиминным методом анализа иерархий для нечётких множеств решить

Примитивный классический метод анализа иерархий (Без матриц парных сравнений).

Условие