Качественное исследование равновесий нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Первое уравнение – 4 ветви гиперболы вида или

77. Исследовать уравнение

    1. C четное

       C НЕчетное

Выбирается в зависимости от чётности с одна из двух систем в рамке

2. Вариант 2:

а) и б)

1. Ответ даётся на очень БОЛЬШОМ графике выполненном на листе А4 (можно А5). Данный график в итоге должен содержать всю существенную информацию, относящуюся к решению.

2. В процессе написания ответа необходимо найти и построить главные изоклины (т.к. в нашем случае эллипс строится как по крайним точкам и точкам равновесия, целесообразно сначала осуществить аналитическую часть пункта в) )

3. Аналитически и графически найти и отметить равновесия.

4. *замечание: вертикальные и горизонтальные изоклины нужно отметить соответствующей вертикальной и горизонтальной штриховкой (ещё более правильно вертикальными и горизонтальными стрелочками отмечать направление прохода траектории через главную изоклину).

5. Выписать аналитическое дифференциальное уравнение линеаризованной системы (для начала общее для всех точек равновесия).

6. По очереди подставить координаты всех равновесий в общее аналитическое уравнение п. d.

7. Выписать уравнения линеаризованной в окрестности каждого равновесия системы на графике.

8. и собственные значения, классифицировать и изобразить фазовые портреты в окрестности равновесия, отметить устойчивые и неустойчивые.

9. Также в рамках предыдущего пункта придётся найти собственные вектора (если иное не оговорено преподавателем).

Указания по ходу решения.

1. Изобразить разным цветом и стилем главные изоклины

   1. Приравнять все правые части 0

   2. Построить изоклины

2. Решить систему уравнений приравняв правые части к нулю – найти точки равновесия (а геометрически – это точки пересечения изоклин). Можно доказать, что в варианте 1 во всех равновесиях модуль yравен 1.

3. Найти коэффициенты линеаризованной системы – для этого (в аналитической форма) вычислить матрицу частных производных от вектор-функции правых частей О.Д.У.

Примечание: получившаяся матрица – это матрица функций.

4. Т.к. в точках равновесия за отсутствием постоянного слагаемого система приблизительно определяется линейной частью, вычислить записать линеаризованную систему исследовать её на тип равновесия и устойчивость в каждой из найденных точек равновесия.

5. С этой целью решив в каждой точке характеристические уравнения для матрицы системы найти собственные вектора и с. Значения. Собственные значения помогут классифицировать фазовый потрет.

(Цит. По А.Б.Рубин Биофизика Т1 с.152)(а собственные вектора, в случае их нахождения, помогут уточнить основные направляющие на нём).

78. Исследовать на устойчивость

1. ДО

2. ОДУ

79. Исследовать на устойчивость при разных значениях параметра .

80. Решить уравнение , положивуказать решение для данных начальных условий. Указание разделение переменных + разложение дробей должны дать дробнолинейные функции. при интегрировании это даст (в будущем экспоненты) логарифмы

81. Для системы Чернавского найти все равновесия исследовать на устойчивость и определить тип ) . Построить портрет (использовать изоклины – см. 1е задание).

82. В модели обучения Капустина . 1)Численно найти границу областей притяжения и 2) бифуркацию слияния нижнего среднего равновесия в более общей модели

83. В системе типа Фитсхью-Нагумы

1. 1. Положив найти порог рождения циклов

   2. Рассмотреть амплитудные характеристик систем

      1. , гдеa,d– параметры личных данных.- произвольный параметр, зависимость от которого исследуется.

      3. Как зависит частота колебаний от периода в последнем случае.