Равновесия в угрозах.

13. (УГ)(цена: 2 задачи в зависимости от качества оформления) Игра в угрозах (решить один из двух вариантов) ( Презентация Теория Игр, впоследствии Игра в угрозах):

1. Вариант I

,

Вариант II

2. Отражающая ведение переговоров антагонистическая игра описывается

.

3. Цена этой игры, , а равновесная стратегия переговоров,,.

4. Коалиционная стратегия и, выигрыш.система решений

5. Точка и условия заключения контракта представляют собой .

Для облегчения понимания пойти на доп.построение: отметить все пары чисел биматрицы на плоскости, построить бюджетную линию, опустить на неё перпендикуляры и сравнить точки крепления перпендикуляров на бюджетной линии. отразить результаты сравнений на матрице , в соответствии с ними провести удаление стратегий, найти равновесие Неша.

14. Пример Решить игру в угрозах:

,

пары стратегий обозначить по матрице:

Решение:

Нанесём точки - пары выигрышей на плоскость выигрыша

Проведём бюджетную линию через точку максимального суммарного выигрыша. Коалиционный выигрыш С задаёт границу бюджетного множества

определяется элементом с максимальной суммой, в каждом конкретном случае он разный - в нашем случае это

,

откуда

,

.

Таким образом мы определили сумму выигрышей.

Разность выигрышей определяется равновесием в угрозах. IIсхема Нэша (Iоказалась не удачна, поэтому обычно не применяется).IIсхема Нэша подразумевает, что игроки одновременно и независимо высказывают свои угрозы (пишут их в конвертах). после вскрытия конвертов они либо договариваются либо обязаны привести угрозы в исполнение. Договориться они могут только о решении следующем из принципа справедливого компромисса.

Каждой паре угроз сопоставляется точка контракта. В случае трансферабельного выигрыша точка контракта - перпендикуляр, опущенный на бюджетное множество. (В общем случае максимизируется произведение , точнее- учитывается прибавка выигрыша по отношению к тому, что имело бы место при обоюдном применении угроз).

таким образом по паре угроз получаем пару выигрышей

или и

Каждый игрок максимизирует свой выигрыш или, варьируя свои угрозы.

В ответ на каждую стратегию jвторого игрока первый выбирает свой наилучший ответ

,

второй

.

Итак, в случае допустимого множества альтернатив определённого полуплоскостью вся эта сложная математика сводится к опусканию перпендикуляра на контрактную прямую. Это соответствует разделу полученного при переходе к бюджетной линии каждого дополнительного рубля пополам, таким образом, разность выигрышей определяется и равна разности выигрышей в позиции равновесных угроз.

Руководствуясь точками крепления перпендикуляров к бюджетной линии, для нахождения равновесия угроз находим соотношения элементов которые находятся либо в одном столбце - их "полномочен" сравнить между собой первый игрок, либо в одной строке - их сравнивает второй игрок.

в нашем случае

потому, чтои

.

Эти факты отражаем на матрице. (Стрелки всегда проводятся от лучшего к худшему).

.

Отсюда ясно, что элемент представляет собой равновесие по второй схеме Нэша. (от этой пары угроз не выгодно отклоняться никому).

В итоге получим уравнение - приращение выигрыша одного игрока при отказе от угроз

;

;

Ответ: коалиционный выигрыш 210, равновесие по 2-й схеме в угрозах (d,r): 20;-240; приводит к разделу выигрыша: .

Проверка решения системы:переходит в , что ВЕРНО.