4.1. Определение и экономический смысл двойственной злп

Пусть прямая задача записана с ограничениями в каноническом виде:

; (4.1)

; (4.2)

. (4.3)

Задачей, двойственной к ЗЛП (4.1)-(4.3), называется следующая ЗЛП

; (4.4)

; (4.5)

не ограничены в знаке, i = 1. m. (4.6)

Двойственная ЗЛП строится по следующим правилам:

1) Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи, т.е. число переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой задачи.

2) Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи, т.е. число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи.

3) Матрица функциональных ограничений двойственной задачи получается путем транспонирования матрицы функциональных ограничений прямой задачи.

4) Вектор целевой функции прямой задачи становится вектором правой части ограничений двойственной задачи, а вектор правой части прямой задачи – вектором целевой функции двойственной задачи.

5) Если ЦФ прямой задачи максимизируется, то ЦФ двойственной задачи минимизируется, а ограничения имеют вид ≥, и наоборот.

Пример 4.1. Пусть прямая задача записана в виде основной ЗЛП:

Приведем ограничения задачи (4.9) к канонической форме:

Тогда двойственная задача (ДЗ) будет иметь вид:

Пример 4.2.

Прямая задача:

Прямая задача с ограничениями в канонической форме

S₁ ≥ 0

Двойственная задача

y_1,2 не ограничены в знаке.

Ограничение , т.е. является более жестким, чем условие неограниченности у₁ в знаке, поэтому двойственная задача может быть записана в следующем виде:

у₂ не ограничена в знаке.

Пример 4.3. Прямая задача

min(5X₁ – 2X₂);

–X₁ + X₂ ≥ –3;

2X₁ + 3X₂ ≤ 5;

X_1,2 ≥ 0.

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

min(5X₁ – 2X₂ + 0S₁ + 0S₂);

–X₁ + X₂ – S₁ = –3;

2X₁ + 3X₂ + S₂ = 5;

Двойственная задача:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

–У₁ + 0У₂ ≤ 0;

0У₁ + У₂ ≤ 0;

У_1,2 не ограничены в знаке.

Отбрасывая избыточные ограничения, получаем:

max(–3У₁ + 5У₂);

–У₁ + 2У₂ ≤ 5;

У₁ + 3У₂ ≤ –2;

У₁ ≥ 0, У₂ ≤ 0.

Пример 4.4. Прямая задача:

max(5X₁ + 6X₂);

X₁ + 2X₂ = 5;

–X₁ + 5X₂ ≥ 3;

4X₁ + 7X₂ ≤ 8.

X₁ не ограничена в знаке, X₂ ≥ 0.

Прямая задача с ограничениями в канонической форме:

max(5 – 5 + 6X₂ + 0S₁ + 0S₂);

+ 2X₂ = 5;

+ 5X₂ – S₁ = 3;

4 + 7X₂ + S₂ = 8;

Двойственная задача:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ ≥ 5;

–У₁ + У₂ – 4У₃ ≥ –5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

0У₁ – У₂ + 0У₃ ≥ 0;

0У₁ + 0У₂ + У₃ ≥ 0.

У_1,2,3 не ограничены в знаке.

Заметим, что первое и второе ограничения двойственной задачи можно заменить одним ограничением в виде равенства, избыточные ограничения на У₂ и У₃ можно отбросить. В итоге получаем:

min(5У₁ + 3У₂ + 8У₃);

У₁ – У₂ + 4У₃ = 5;

2У₁ + 5У₂ + 7У₃ ≥ 6;

У₁ не ограничена в знаке;

У₂ ≤ 0, У₃ ≥ 0.

Очевидно, что задача, двойственная к двойственной, совпадает с прямой.