Методичка_ММИО_2006

Модель без дефицита

В соответствии с терминологией транспортной модели поставщики представлены обычным и сверхурочным производством для различных этапов. Потребители задаются спросом соответствующих этапов. Затраты на «транспортировку» единицы продукции от любого поставщика к любому потребителю представляются суммой соответствующих производственных затрат и затрат на хранение единицы продукции.

Матрица полных затрат для эквивалентной транспортной задачи приведена в следующей таблице:

спрос на этапе j					избыток
	1	2	3	...	N
R₁	C₁	C₁ + h₁	C₁ + h₁ + h₂		C₁ + h₁ + …+ h_N_–1	0	a_R₁
T₁	d₁	d₁ + h₁	d₁ + h₁+ h₂		d₁ + h₁+ …+ h_N_–1	0	a_T₁
R₂		C₂	C₂ + h₂		C₂ + h₂ + …+ h_N_–1	0	a_R₂
T₂		d₂	d₂ + h₂		d₂ + h₂+ …+ h_N_–1	0	a_T₂
...							...
RN					C_N	0	a_RN
TN					d_N	0	a_TN
	b₁	b₂	b₃	...	b_N	S

Дополнительный столбец используется для балансировки транспортной задачи, т.е. S = . Затраты на единицу продукции в дополнительном столбце равны нулю. Так как дефицит не допускается, то продукцию, выпускаемую на рассматриваемом этапе, нельзя использовать для удовлетворения спроса предыдущих этапов. В таблице это ограничение представлено заштрихованными ячейками, что, в сущности, эквивалентно очень большим затратам на единицу продукции.

Так как задолженность в модели не допускается, то для каждого этапа k в нее необходимо включить ограничение, состоящее в том, что накопленный спрос не должен превышать соответствующий общий объем произведенной продукции, т.е.

³ , k = 1, 2,..., N.

Так как спрос на этапе i должен быть удовлетворен прежде, чем спрос на этапах i + 1, i + 2,..., N, и поскольку на функцию производственных затрат наложены специальные требования, нет необходимости применять общий алгоритм решения транспортной задачи. Сначала путем последовательного назначения максимально возможных поставок по наиболее дешевым элементам первого столбца удовлетворяется спрос на этапе 1. Затем корректируются значения a_i, которые после этого определяют оставшиеся мощности для различных этапов. Далее рассматривается этап 2, и его спрос удовлетворяется наиболее дешевыми поставками в пределах новых ограничений на производственные мощности. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет удовлетворен спрос этапа N.

Пример 6.6.

Период I	Мощность (в единицах продукции)			Спрос b_i (в единицах продукции)
	a_Ri		a_Ti
1 2 3 4	100 150 100 200	50 80 100 50		120 200 250 200
Всего	550	280		770

Производственные затраты на всех этапах одинаковы, т.е. c_i= 2 и d_i = 3 при всех i. Издержки на хранение также постоянны на всех этапах и равны h_i = 0,1 для любого i. Условия эквивалентной транспортной задачи приведены в таблице:

	1	2	3	4	Избыток
R₁	2 100	2,1 –	2,2 –	2,3 –	0 –	100
T₁	3 20	3,1 –	3,2 20	3,3 –	0 10	50; 30; 10
R₂		2 150	2,1 –	2,2 –	0 –	150
T₂		3 50	3,1 30	3,2 –	0 –	80; 30
R₃			2 100	2,1 –	0 –	100
T₃			3 100	3,1 –	0 –	100
R₄				2 200	0 –	200
T₄				3 –	0 50	50
	120	200	250	200	60
	20	50	150		10
			50
			20

В оптимальности решения можно убедиться, воспользовавшись условием оптимальности алгоритма транспортной задачи. Заметим, что полученное оптимальное решение является вырожденным.

Упражнение:

а) Определите следующие величины:

объем производства на этапе 1 для этого же этапа (120 единиц);
объем производства на этапе 1 для этапа 2 (нулевой);
объем производства на этапе 1 для этапа 3 (20 единиц);
объем производства при обычном режиме работы и в сверхурочное время на этапе 1 (100 и 40 единиц соответственно);
запас, переходящий из этапа 1 в этап 3 (20 единиц);
запас, переходящий из этапа 2 в этап 3 (50 единиц);
запас, переходящий из этапа 3 в этап 4 (нулевой);

б) Предположив, что на этапе 4 требуется 55 дополнительных единиц продукции, определите, каким образом эту продукцию нужно выпустить (50 единиц в сверхурочное время на этапе 4 и 5 единиц в сверхурочное время на этапе 1).

Содержание