Нечеткие множества: определение и формы записи в операциях и

методах представления знаний

Заданы: дискретная область определения – аддитивный класс 2^Х в пространстве Х на универсальном множестве Х; область значения – отрезок [0,1] на множестве действительных чисел.

Аксиома 4: функция множества А называется функцией принадлежности μ, если для любых она отображает область определения на область значения:

μ: 2^X[0,1]. (1.10)

Каждому значению μ(x_i) дается одна из следующих понятийных интерпретаций {1,2,3}:

1. нечеткость суждения ;

2. субъективная совместимость x_i и A;

3. мера нечеткости x_i.

Обобщением данных свойств является понятие «нечеткость» (fuzzy) или принадлежность элемента x_i множеству A.

Аксиома 5: нечеткое множество НМ есть совокупность упорядоченных пар- элементов множества А и соответствующих им значений функции принадлежности:

{|x_i, μ(x_i)|}, (1.11)

где А ={{x_i}}, iI{1,2,…n}.

Множество А называется носителем нечеткого множества.

На примере носителя А ={x₁,x₂,x₃} и значений функций принадлежности μ(x₁)=,μ(x₂)=μ₂, μ(x₃)=μ₃ приведем основные формы записи нечётких множеств:

А = {x₁, x₂, x₃}, (1.12)

μ_A = μ₁, μ₂, μ_3.

μ₁/x₁+μ₂/x₂+μ₃/x₃=_, (1.13)

. (1.14)

Каждое нечеткое множество может иметь многоуровневое представление в виде набора носителей, определенных для заданных значений μ:

_, (1.15)

где А_α – носитель уровня α, т.е. подмножество на области определения, для элементов которого,i{1,2,..n}, /- связка «при».

Например, если для нечетких множеств = {(x₁, 0.2), (x₂, 0.3), (x₃, 0.5)} заданы уровни представления α=0,2 и α=0,3, то получим А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 ={x₂, x₃}. Таким образом, данное нечеткое множество на уровнях 0,2 и 0,3 представлено 2-мя носителями: А_0,2 = {x₁,x₂,x₃} и A_0,3 = {x₂,x₃}.

К любому нечеткому множеству, равному {(x_i, μ_i)} с носителем А = {{x_i}} и

iI{1,2,…n}, можно добавить пару вида (x_k, 0), k{1,2,…n} и k≠i.

Такая процедура называется модификацией мощности носителя.

Базовые операции над нечеткими множествами с модифицированными носителями: нечеткое множество 1 есть {(x_i, μ_i)} и нечеткое множество 2 равное

{(x_i,)},i{1,2,…n}, сводятся к вычислению функции принадлежности результата {1,2,3,4}:

1. дополнение , γ=1-μ_i;

2. разность НМ₁\НМ₂, γ=MIN(μ_i,1-);

3. пересечение (произведение) ∩, γ=MIN (μ_i,);

4. объединение (сумма) , γ=(μ_i,).