logo
9АБCД Нечётки е технологии (УЧЕБНИК) (Восстановлен)11 (2)

2.9.Нечеткие иерархические отношения

По существу обобщением понятия эквивалентности служит понятие «сходство» введенное Заде. Отношением сходства S в Ω называется нечеткое отношение, которое:

  1. рефлексивно, то есть = 1, тогда и только тогда, когдаx

  2. симметрично, то есть ,;

  3. транзитивно, то есть

  4. Отношение несходства D можно определить как дополнение к S с функцией

Если функцию интерпретировать, какрасстояние d(х,y), то из транзитивности отношения S следует:

. (2.25)

Поскольку = 1-MAX[d(х,y),то, можнозаключить, что d(x,z)MAX,],; откуда следует неравенство треугольника.

Определим отношение близости, описывающее субъективное сходство как рефлексивное, симметричное, но необязательно транзитивное, n-местное нечеткое отношение:

, где (2.26)

кратное декартово произведение X на себя; x,y

Тогда, для всех x,y и всех , 0

Отсюда следует существование предела:

так как, в соответствии с принципом монотонной сходимости, для любого найдется такое целое числоN, что , при всехn>N.

Поскольку последовательность не убывающая и ограничена, как сверху, так и снизу, указанный предел существует в силу следующей теоремы:

Теорема1: ограниченная, неубывающая последовательность {аi} имеет предел равный наименьшему из чисел, которое не меньше любого из аj;

Определение 2: пусть x и y два элемента из множества Ω, а определенное выше,n-местное отношение.

Назовем близостью этих элементов число из отрезка [0,1], удовлетворяющее равенству:

(2.27)

Определение 3: пусть . Тогда будем говорить, чтонаходятся в пороговом отношении, тогда и только тогда, когда

Теорема 2: []

Теорема доказана.

Теорема 3: Пороговое отношение является отношением сходства на Ω.

Доказательство:

  1. xRTx, поскольку

1=,

  1. xRTy, тогда и только тогда, когда yRTx, так как

  1. Из xRTy и yRTz следует xRTz, так как

Теорема доказана.

Заметим, что введение описанных выше отношений аналогично представлению о множествах α-уровня Rα отношения R (обычные четкие множества из декартова произведения X×Y), развитому Заде Л.

Теорема 4: Пусть T1тогда отношение RT порождает подразбиение, порождаемое отношением.

Доказательство:

Теорема доказана.

Легко видеть, что если и- пороговые отношения, порожденные соответственно функциями принадлежностииито разбиение появляется подразбиением разбиения поФункцияслужитфункцией расстояния, поскольку:

  1. при

  3. , так как