1.7.Функции доверия и правило Демпстера а.Р.,[23]

Заданы области: определения – аддитивный класс в пространствена универсальном множествеX; значения – отрезок [0;1] на множестве действительных чисел.

1. Ограниченность – Bel(ø)=0, Bel(X)=1;

2. Супераддитивность – для m множеств X.

(1.16)

Понятийно Bel – это, по Г. Шеферу (G. Shafer) [24], мера доверия гипотезе, которой соответствует множество в аргументе функции.

Например, если имеется гипотеза: A есть одиночное множество {x₁} или {x₂}, или {x₃}, то A={x₁}{x₂}{x₃} и мера доверия этой гипотезе будет равна Bel(A).

Рассмотрим частный случай: на множестве ={x₁,x₂} определены и . Из супераддитивности функции доверия при m =2 следует:

Bel({x₁}{x₂})Bel({x₁})+Bel({x₂})-({x₁}{x₂}). (1.17)

Из ограниченности функции доверия следует:

Bel({x₁}{x₂})=Bel(ø)=0,

Bel({x₁}{x₂})=Bel()=1. (1.18)

Используя формулу (1.17), в случае равенства и (1.18), получим:

Bel({x₁})+Bel({x₂})=1. (1.19)

Из (1.19), с учётом {x₂}={x₁}, вытекает:

Bel({x₁})=1-Bel({x₁}) . (1.20)

Соотношение (1.20) называется нормирокой Bel.

Рассмотрим применение нормированной функции доверия для обработки данных.

В наx={x₁,x₂,…,x_i,…,x_n} определена Bel и результатом некоторого эксперимента или наблюдения в является факт, который известен в виде элементаx_i и его значения функции принадлежности μ_i, то есть, как нечёткое множество НМ={(x_i, μ_i)} с носителем {x_i}, принадлежит {1,2,…,n}.

Аксиома 7. Функция доверия с простым носителем:

Bel={0, при A не включаемом в {x_i};

μ_i при A, включенном в {x_i}; 1- при A=_}, где - множество из гипотез {1,2,3}:

(1.21)

1. A есть любой элемент {x_j}, кроме {x_i};

2. A есть {x_i}, или любой другой элемент {x_j};

3. A есть универсальное множество X.

Рассмотрим теперь простейшую гипотезу: A есть однозначное множество {x_i}. Дополнительно к свойствам нечёткого множества, эта гипотеза интерпретируется как определение меры доверия факту с помощью соотношения (1.21): Bel ({xi})=.

Пусть теперь все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из двух фактов:

НМ={(x_i, μ_i),(x_j, μ_j)}с носителем {x_i}{x_j}, принадлежит{1,2,…,n}.

Аксиома 8:

Правило Демпстера: (композиция Bel({x_i}) и Bel({x_j})) при их объединении ({x_i}{x_j}), не равна X:

Bel({x_i})Bel({x_j}) = . (1.22)

Выражение (1.22) определяет меру доверия двум фактам.

Если все экспериментальные данные сосредоточены на наборе, состоящем из m фактов НМ={(x_i,)} с носителем {{x_i}}, iI{1,2,…,n}, m=#I, то получаем композицию:

, (1.23)

Выражение (1.23) определяет меру доверия набору из m фактов.