logo
9АБCД Нечётки е технологии (УЧЕБНИК) (Восстановлен)11 (2)

Перечень базовых операций над множествами

  1. Дополнение ¬А. Если X={x1, x2, x3} и A={x1, x2}, то ¬А={x3};

  2. Разность А\В. Если A={x1, x2} и B={x2, x3}, то А\В = {x1};

  3. Пересечение (произведение) если и, то;

  4. Объединение (сумма) если и, то.

На универсальном множестве X= {} любое множествоА можно записать так:

, (1.3)

где принимает все значения из подмножествамножества натуральных чиселили- множество номеров элементов.

Например: X = {}, приi от 1 до 10 и А = {x1, x4, x6}, можно записать:, гдепринимает значения 1, 4, 6.

Пусть задано универсальное множество, а в нем определено некоторое пространство, в котором имеется класс множеств.

Аксиома 3: класс множества пространства называется аддитивным, если:

  1. всё пространство принадлежит классу;

  2. все последовательности вложенных множеств из этого класса, их сумма и произведение принадлежат классу;

  3. для множества и его подмножества из этого класса, и их разность - принадлежат классу.

Таким ообразом, признак аддитивности класса: счетное число операций сложения, умножения и вычитания над элементами этого класса, дают результат в том же классе. Например, если пространство равно {x1,x2}, то класс всех его возможных подмножеств есть множество подмножеств {{x1}, {x2}, {x1,x2}} или степенное множество в данном пространстве.

Проверим аддитивность этого класса. В соответствии с аксиомой 3, проверяем условия:

  1. в классе множества {{x1}, {x2}, {x1, x2}}имеется элемент {x1, x2} равный пространству {x1,x2}, поэтому оно принадлежит классу {{x1}, {x2}, {x1, x2}};

б) в классе {{x1}, {x2}, {x1, x2}} имеются две последовательности вложенных множеств: {x1}{x1, x2}, {x2}{x1, x2}, в каждой из них сумма и произведение множеств дают результат в том же классе;

в) в классе {{x1}, {x2}, {x1, x2}} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса -{x1, x2}{x1}, {x1, x2}{x2}; в каждой паре разность множества и подмножества дают результат в том же классе.

Таким образом, условия а), б) и в) справедливы и класс {{x1}, {x2}, {x1, x2}} является аддитивным.

На множестве действительных чисел R определим интервалы как подмножество , гдеri и rj – точная и неточная границы интервала соответственно:

rirj R

Класс всех интервалов на множествене является аддитивным, т.к. для вложенной последовательности множеств, либо множества и его подмножества, результат суммы, либо разности, не будут принадлежать исходному классу (не выполняется условие б) или в) аксиомы 3.

Например, класс I1, I2, I3 является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности R множеств, сумма которых даст результат в том же классе {}:

I1 I2 I3

не является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности множеств, сумма которых даст результат в том же классе .

Выполним процедуру расширения класса интервалов путём счётного повторения операций сложения, вычитания и умножения над элементами класса до тех пор, пока расширенный класс не будет удовлетворять условиям аддитивности, в соответствии с аксиомой 3. Тогда вся совокупность, полученных при расширении множеств, называется классом борелевских множеств [18]. Такой класс ещё называется борелевским полем множеств, множествами, измеримыми по Борелю или минимальной алгеброй множеств. Будем обозначать этот класс.

Рассмотрим, на примере, получение борелевского класса. Пусть на множестве R задан исходный класс интервалов {}:

I1 I2 I3 R

Выполним процедуру расширения класса {} в класс {R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7} следующим образом:

R1 = I1

R2 = I2

R3 = I3

R4 =

R5 =

R6 =

R7 =

Теперь проверим аддитивность полученного класса.

По аксиоме 3 условия аддитивности следующие:

  1. в классе {R1÷R7} элементы R1, R2 и R3 равны элементам пространства I1, I2, I3 соответственно. Поэтому всё пространство принадлежит классу

{R1R7};

  1. в классе {R1÷R7} имеются шесть последовательностей вложенных множеств, каждое из которых сумма и произведение множеств дают результат в том же классе:

R1R6R7; R3R6R7;

R1R4R7; R2R4R7;

R3R5 R7; R2R5R7.

Например, R1R6 = R6.

  1. в классе {R1÷R7} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса, в каждой паре разность между множеством и подмножеством дает результат в том же классе: R4R1; R4R2; R5R2; R5R3; R6R3; R7R6; R7R4; R7R5; R7R1; R7R2; R7R3. Например, R4 \ R1 = R2.

Таким образом, условия аддитивности выполняются и полученный класс – борелевский: В = {R1÷R7}.