2.3. Операционные зависимости
Основные результаты операционного анализа формулируются в виде соотношений между операционными переменными. Основой этих соотношений является гипотеза о балансе потоков в сети: количество требовании, которые поступили в некоторый узел на протяжении продолжительного периода Т, равняется количеству требований, которые покинули этот узел. Эта гипотеза определяет работу сетиCMOв установившемся режиме, то есть требования всегда покидают узлы сети.
Гипотеза о балансе позволяет установить зависимости между операционными переменными для каждого узла сети. Эта гипотеза позволяет записать уравнения баланса потоков:
Справедливость выражения (2.7) вытекает из предположения о балансе потоков в сети, то есть Aj = Cj, так как,но при условии, что, находим. Поделив последнее соотношение (левую и праву его части) на общее время наблюденияТ, получим выражение (2.7). Уравнения (2.7) будут иметь единственное решение для замкнутой сети при заданномх0. Для разомкнутой сети уравнения (2.7) будут линейно зависимыми, однако, и в этом случае они имеют полезную информацию о динамике потоков сети. Найдем из выражения (2.6) производительность узла
Определим коэффициент посещаемости узла k
Уравнение баланса потока можно представить в эквивалентной системе, в которой вместо интенсивности потоков используются коэффициенты посещаемости каждого узла сети.
Поделим левую и правую части выражения (2.7) на Х0:
Выражения(2.10) справедливы, если справедливы уравнения (2.7), поскольку (2.10) получены из (2.7).
Связь коэффициентов посещаемости и производительности узла определяем по формуле
Для определения среднего времени пребывания требования в вероятностной сети обозначим это время через R, А для отдельных узлов – черезRk. Введем еще одну операционную переменную –Wk, которая равняется суммарному времени ожидания и времени обслуживания требования узломk на протяжении времениТ:
Среднее время пребывания в системе можно найти через Rk и коэффициенты посещаемости отдельных узлов, то есть
Это общий закон времени пребывания, который справедлив и в том случае, если гипотеза о балансе потоков не выполняется.
Среднее количество требований в сети N, которое определяется через среднее количество требований в каждом узле nk, равно
где nk – выводимая операционная переменная, которую можно получить из основных операционных переменных:
Для среднего времени пребывания требований в сети справедлив закон Литтла: среднее время пребывания в устройствеk определяется через среднее количество требований в устройстве и интенсивность потока
Обосновать формулу Литтла можно cпомощью операционного анализа. Из выражения (2.15) находим:
Подставляем полученную операционную переменную в уравнение(2.12):
Закон Литтла справедлив также для всей сети в целом. Подставим выражение для Vk из уравнения (2.9) в (2.13) и выражение дляRk из (2.16), тогда
Покажем, как можно использовать операционный анализ для определения времени пребывания в замкнутой сети (рис. 2.6).
Рис. 2.6
Пусть есть M устройств, время обслуживания требования любым из них –Z. Среднее время пребывания требования в сети определяем по формуле
Выражение (2.20) получено из таких соображений. Среднее время одного цикла взаимодействия, включая время обслуживания требования во внешней сети и пребывание в одном из M устройств, определяется суммойZ+R. Если предположить, что выполняется гипотеза о балансе потоков, то для рассматриваемого цикла справедлива формула Литтла. Поэтому величина(Z + R)X0 должна определять среднее количество занятых устройств или среднее количество работающих устройств для системыcотказами. Таким образом, общее количество устройств
Продемонстрируем использование приведенных соотношений операционного анализа на примерах.
Пример 2.1. Пусть имеемM= 20 устройств. Среднее время обслуживания каждымZ= 25c(рис. 2.7).
Для узлов l,g, n сети частоты перехода к узлуt равняются соответственно:qlt=0,5; qmt=0,1; qnt= 0,85, А коэффициенты посещаемости этих узлов равняютсяVl = 12;Vg = 17;Vn = 19. Узелt используется на 50%, среднее время обслуживания узломt поступающих требований составляет 25 мс. Необходимо найти среднее время пребывания и среднее количество требований в сети.
Определим коэффициент посещаемости узла t, используя уравнения баланса потоков (2.10), записанные через коэффициенты посещаемости узлов:
Находим интенсивность поступления требований в сеть
Рис. 2.7
В выражение (2.22) входят известные из условий операционные переменные: Ut = 50% иSt = 0,025c. Следовательно получим
Из выражения(2.19) находим время пребывания требования в сети
Для определения среднего количества требований в сети воспользуемся формулой Литтла:
Пример 2.2. Рассмотрим сеть, в которую поступают требования как из обслуживающих устройств (замкнутая часть сети), так и извне (рис. 2.8).
Есть M= 40 обслуживающих устройств. Среднее время обслуживания каждымZ= 15c. В результате проведенных исследований получены такие данные о сети:
– среднее время пребывания требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в сеть, равняется 5 c;
– среднее время обслуживания любого требования узлом t составляет 40 мс;
– каждое требование, которое поступает от M устройств обслуживания, порождает 10 требований к узлуt;
– каждое требование, которое поступает в систему извне, порождает 5 требований к узлу ?;
– узел t используется на 90%.
Рис. 2.8
Нужно определить нижнюю границу времени пребывания в сети требований, которые поступают от Мустройств обслуживанияcинтенсивностью входящего потокаХ0 и от внешнего источника требований в сетьcинтенсивностьюXt, что выходят из узлаt.
При решении поставленной задачи переменные, которые касаются поступающих от Мустройств обслуживания требований, будем обозначать звездочкой.
Из выражения (2.20) для потока требований от М устройств находим
где Z– среднее время обслуживанияM устройствами;R – среднее время пребывания требований, которые поступили от 40 устройств обслуживания в сеть. Тогда
Интенсивность потока требований в узел tопределяем как сумму
интенсивности потоков требований от устройств обслуживания и интенсивности потока внешних требований, то есть Xt* +Xt. Тогда в соответствииcвыражением (2.3.1) можно записать:
Используя формулу для коэффициента посещаемости (2.8), находим Xt* :
отсюда
Теперь можно найти интенсивность Х0 входящего потока внешних требований в сеть
Допустим, что исходные условия изменились и интенсивность входящего потока внешних требований увеличилась втрое, то есть X0 = 1,5 требований/с. ТогдаXt = VtX0=7,5 требований/с. Считая, что среднее время обработки требований узломt не изменилось, получаем, что максимально возможная интенсивность обслуживания требований узломt, составляет –= 25 требований/с при 100% использовании узлаt. Таким образом, интенсивность обслуживания требований узломt от устройств обслуживания не может превышать
Исходя из этого,
Итак, нижняя граница времени пребывания в сети требований, которые поступают от 40 устройств обслуживания в соответствии cвыражением (2.19)
Таким образом, увеличение в три раза интенсивности потока внешних требований приведет к увеличению среднего времени пребывания требований в сети от 40 устройств обслуживания на 2,9 c.
- Предисловие
- Введение
- Глава 1. Модели массового обслуживания
- 1.1. Системы массового обслуживания и их характеристики
- 1.2. Системыcодним устройством обслуживания
- 1.3. Основы дискретно-событийного моделированияCmo
- 1.4. Многоканальные системы массового обслуживания
- Переменная vаr1, экспоненциальное распределение
- Глава 2. Вероятностные сети систем массового обслуживания
- 2.1. Общие сведения о сетях
- 2.2. Операционный анализ вероятностных сетей
- 2.3. Операционные зависимости
- 2.4. Анализ узких мест в сети
- Глава 3. Вероятностное моделирование
- 3.1. Метод статистических испытаний
- 3.2. Моделирование дискретных случайных величин
- 3.3. Моделирование непрерывных случайных величин
- 3.4. Сбор статистических данных для получения оценок характеристик случайных величин
- 3.5. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин
- Глава 4. Система моделированияgpss
- 4.1. Объекты
- 4.2. Часы модельного времени
- 4.3. Типы операторов
- 4.4. Внесение транзактов в модель. БлокGenerate
- 4.5. Удаление транзактов из модели. БлокTerminate
- 4.6. Элементы, отображающие одноканальные обслуживающие устройства
- 4.7. Реализация задержки во времени. БлокAdvance
- 4.8. Сбор статистики об ожидании. БлокиQueue,depart
- 4.9. Переход транзакта в блок, отличный от последующего. БлокTransfer
- 4.10. Моделирование многоканальных устройств
- 4.11. Примеры построенияGpss-моделей
- 4.12. Переменные
- 4.13. Определение функции вGpss
- 4.14. Стандартные числовые атрибуты, параметры транзактов. Блоки assign, mark, loop
- Примеры фрагментов gpss-моделейcиспользованием сча и параметров гранзактов
- 4.15. Изменение приоритета транзактов. БлокPriority
- 4.16. Организация обслуживанияcпрерыванием. Блоки preempt и return
- 4.17. Сохраняемые величины
- 4.18. Проверка числовых выражений. БлокTest
- 4.19. Определение и использование таблиц
- 4.20. Косвенная адресация
- 4.21. Обработка транзактов, принадлежащих одному семейству
- 4.22. Управление процессом моделирования в системеGpss
- 4.23. Списки пользователей
- 4.24. Блоки управления потоками транзактовLogic,gatelr,gatelSиGate
- 4.25. Организация вывода временных рядов изGpss-модели
- 4.26. Краткая характеристика языкаPlus
- 4.27. КомандыGpssWorId
- 4.28. Диалоговые возможностиGpssWorld
- 4.29. Отличия междуGpssWorldиGpss/pc
- Глава 5. Моделирование вычислительных и операционных систем
- 5.1. Операционные системы компьютеров
- 5.2. Сети и системы передачи данных
- 5.3. Проблемы моделирования компьютеров и сетей
- Глава 6. Основы моделирования процессов
- 6.1. Производственные процессы
- 6.2. Распределительные процессы
- 6.3. Процессы обслуживания клиентов
- 6.4. Процессы управления разработками проектов
- Глава 7. Задания для самостоятельной работы Задание 1. Моделирование разливной линии
- Задание 2 [10]. Моделирование контроля и настройки телевизоров
- Задание 3. Моделирование работы кафе
- Задание 4. Моделирование работы обрабатывающего цеха
- Задание 5. Моделирование работы обрабатывающего цеха
- Задание 6. Моделирование работы обрабатывающего цеха
- Задание 7. Моделирование работыCmo
- Задание 8. Моделирование функций
- Задание 9 [10]. Моделирование системы обслуживания
- Задание 10 [16]. Моделирование системы автоматизации проектирования
- Задание 11 [16]. Моделирование работы транспортного цеха
- Задание 12 [16]. Моделирование системы передачи разговора
- Задание 13 [16]. Моделирование системы передачи данных
- Задание 14 [16]. Моделирование узла коммутации сообщений
- Задание 15 [16]. Моделирование процесса сборки
- Задание 16 [16]. Моделирование работы цеха
- Задание 17 [16]. Моделирование системы управления производством
- Задание 18. Моделирование производственного процесса
- Задание 19. Моделирование работы заправочной станции
- Задание 20. Моделированиеработы станции технического обслуживания
- Задание 21. Моделирование работы станции скорой помощи
- Задание 22. Моделирование работы госпиталя
- Задание 23. Моделирование работы маршрутных такси
- Задание 24. Моделирование работы печатной системы
- Задание 25. Моделирование процесса сборки пк
- Глава8. Проектирование имитационных моделей c помощью интерактивной системы имитационного моделирования
- 8.1. Структура интерактивной системы имитационного моделирования
- 8.2. Построение концептуальной схемы модели
- 8.3. Параметрическая настройка модели
- 8.4. Генератор формул
- 8.5. Управление экспериментом
- 8.6. Запуск эксперимента и обработка результатов моделирования
- 8.7. Управление проектами и общей настройкой системы
- 8.8. Пример построения модели средствамиIss2000
- Глава 9. Технология имитационного моделирования
- 9.1. Имитационные проекты
- 9.2. Организация экспериментов
- 9.3. Проблемы организации имитационных экспериментов
- 9.4. Оценка точности результатов моделирования
- 9.5. Факторный план
- 9.6. Дисперсионный анализAnovAв планировании экспериментов
- 9.7. Библиотечная процедураAnova
- 9.8. Технология проведение дисперсионного анализа в системеGpssWorld
- 9.9. Особенности планирования экспериментов
- 9.10. Нахождение экстремальных значений на поверхности отклика
- 9.11. Организация экспериментов вGpssWorId
- 9.L2. Выбор наилучшего варианта структуры системы
- Глава 10. Примеры принятия решенийcпомощью имитационного моделирования
- 10.1. Моделирование производственного участка
- 10.2. Моделирование технологического процесса ремонта и замены оборудования
- Приложение Системные сча
- Сча транзактов
- Сча блоков:
- Сча одноканальных устройств:
- Сча очередей
- Сча таблиц
- Сча ячеек и матриц ячеек сохраняемых величин:
- Сча вычислительных объектов
- Список литературы
- Срдержание
- Глава 5. Моделирование вычислительных и операционных систем 132
- Глава 10. Примеры принятия решений c помощью имитационного моделирования 201