4.13. Определение функции вGpss

В GPSSрассматриваются пять типов функций:

1) дискретная числовая (D),

2) непрерывная числовая (C),

3) табличная числовая (L),

4) дискретная атрибутивная (E),

5) табличная атрибутивная (M). Рассмотрим два первых типа функций.

Дискретная функция представляет собой кусочно-постоянную функцию, которая состоит из горизонтальных ступеней (рис. 4.2).Непрерывная функция представляет собой кусочно-непрерывную функцию. Непрерывная функция вGPSSсостоит из соединенных между собой прямых отрезков и представляет собой ломаную линию (рис. 4.3). Чтобы задать дискретную функцию, необходимо задать ко­ординаты крайних правых точек горизонтальных отрезков. Для не­прерывной функции необходимо задать координаты всех точек, кото­рые являются концами отрезков.

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Действия, необходимые для определения дискретной и не­прерывной GPSS-функции:

1.Присвоить функции имя. Имя может быть числовым либо символьным.

2. Задать аргумент функции. Аргументом могут быть:

1) ссылка на генератор случайных чисел, используемый для ро­зыгрыша в соответствии cраспределением, заданным функцией;

2) стандартный числовой атрибут;

3) ссылка на любую другую функцию.

В первом случае аргумент задается в виде RNj, j – целое число (номер генератора). ВGPSS/PCj= 1, ..., 7, т.е. возможно обращение к семи идентичным генераторам случайных чисел. При этом генерато­ры выдают случайные числа в диапазоне 0... 0,999. ВGPSSWorldколичество генераторов случайных чисел неограниченно, А выдаваемые ими значения 0... 0,999999.

3. Задать тип функции и число крайних точек функции.

4. Задать значения аргумента (переменной) и соответствующие значения функции (т.е. координаты крайних точек функции).

Три первых элемента информации указываются в операторе определения функции. Формат оператора представлен в таблице.

Таблица 4.21

За каждым оператором описания FUNCTION следуют операто­ры задания координат точек функции (значений аргументовX_i и со­ответствующих им значений функцииY_i) – этооператоры описания координат функции. Их формат:

1) если координаты всех точек расположены в одной строке оператора описания функции:

2) если координаты точек расположены в нескольких операто­рах описания функции:

где X_i иY_i – координатыi-й точки функции (в случае моделирования случайной величиныX_i являетсяi-й суммарной (кумулятивной) час­тотой,Y_i – соответствующим значением случайной величины).

Особенности оператора описания координат функции:

1) основной единицей информации оператора описания коорди­нат функции является пара значений X_i, Y_i (координаты точкиi);

2) значения координат X_i иY_i– одной точки функции разделяются запятой;

3) последовательные наборы координат разделяются знаком «/»;

4) координаты X_i иY_i– относящиеся к одной точке, задаются од­ним оператором, т.е. пара координат одной точки не должна разры­ваться;

5) все строки описания координат функции должны начинаться cпервой позиции;

6) во всех случаях значения аргумента должны удовлетворять следующим неравенствам:

Значение функции является ее стандартным числовым атрибу­том. Способ ссылки на этот атрибут зависит от того, как задано имя функции: в символьном или числовом виде. Если имя числовое, то к значению функции обращаемся через FNj(гдеj– номер функции), если имя символьное – черезFN$<имя функции>.

1. Аргументом функции может быть и значение какой-либо другой функции.

2. Каждая функция должна иметь, по крайней мере, две описанные точки.

Пример 4.18

Пусть необходимо смоделировать дискретную случайную пере­менную, заданную в табл. 4.22.

Таблица 4.22

GPSS-функцию можно определить таким образом:

Графическая интерпретация функции показана на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Особенности вычисления дискретных и непрерывных GPSS-функций:

1. В начальной фазе выполняемые действия при вычислении дискретной и непрерывной функции одинаковы. При обращении к функции определяется значение ее аргумента. Потом просматривает­ся упорядоченный ряд значений Х₁<Х₂<...<Х_i<...<Х_п для определения интервала, в который попало значение аргумента (пусть это будет ин­тервал между точкамиi – 1 иi).

2. Если функция дискретная, то второй элемент соответствую­щей пары X_i, Y_j является значением функции. Если функция непре­рывная, выполняется линейная интерполяция для пары точекi– 1 иi, находящихся на краях интервала значений функции, на который ука­зало значение аргумента.Целая часть результата интерполяции и является значением функции.

3. Если значение аргумента функции больше значения коорди­наты Х_n последней точки, то в обоих случаях (дискретной и непре­рывной функции) значениями функции являются значенияY_n.

Пример 4.19

Моделирование случайной переменной, равномерно распреде­ленной на интервале [2,5].

Эта случайная переменная может быть смоделирована функцией:

INN FUNCTION RN2,C2

0,2/1,6

Графическая интерпретация непрерывной функции показана на рис. 4.5.

Рис. 4.5

Так как максимальное значение, которое может выдать генера­тор случайных чисел, равно 0,999, то фактические значения интерва­лов времени распределены равномерно на интервале [2, 5] и равны, соответственно, одному из значений: 2, 3, 4, 5. Если генератор выдаст число 0,999, функция, которая показана на рис. 4.5, примет значение 5,996, целая часть которого равна 5 (это и будет значением GPSS-функцииINN). В случае, если генератор случайных чиселRN2 вы­даст значение 0,4,GPSS-функцияINNпримет значение 3 (см, рис. 4.5).

GPSS-функцияINNне может принять значение, рав­ное 6 (несмотря на то, что второй элемент второй пары опе­ратора описания координат функции 0,2/1,6 равен 6).

Точные граничные значения RN2, соответствующие возможным значениям функцииINN, представлены в табл. 4.23.

Таблица 4.23

Равномерное распределение [2, 3, 4, 5] не может быть задано непосредственно cпомощью операндов А иВблокаGENERATE. Здесь имеем четыре возможных значения, то­гда как интервал А ± В(АиВцелые) всегда имеет нечетное число элементов.

Пример 4.20

Часто возникают ситуации, когда в процессе моделирования не­обходимо переходить в различные блоки программы в зависимости от логики работы модели. Стандартные блоки GPSSWORLDтакие, какTEST (см. параграф 4.16) иTRANSFER, не всегда могут решить эту проблему, так как они позволяют распределять транзакты макси­мум по двум направлениям. В случае, когда осуществляется услов­ный переход на одну из нескольких меток (если более двух, то в обычных языках программирования используется операторCASE OF), необходимо построить переключающую функцию. Для вызова переключающей функции используется блокTRANSFER в режиме безусловного перехода.

Пример переключающей функции:

Переключающая функция построена на основе дискретной функции cтем отличием, что результатом функции являются метки. В этом примере переход осуществляется к одной из меток в зависи­мости от числа, которое получаем от генератора случайных чисел.

Моделирование неравномерных случайных величин. Ис­пользование функций в блоках GENERATE и ADVANCE. Пусть распределение интервалов поступления через определенный блокGENERATE или время задержки в некотором блокеADVANCEне является равномерным (либо является равномернымc«плавающи­ми во времени», т.е. нефиксированными значениями среднего и половины поля допуска). Для входов транзактов в модель через этот блокGENERATE и для задания закона времени задержки в соответ­ствующем блокеADVANCEнеобходимо использовать функции и (или) СЧА. Использование функций, заданных в операндах блоков, зависит от контекста. От значения функции берется целая часть, за исключением тех случаев, когда это значение используется в качестве операнда В блоковGENERATE и ADVANCE или операндаC блокаASSIGN. В табл. 4.24 показаны различные варианты использования функций и СЧА в качестве операндов А иВблоковGENERATE иADVANCE. Под результатом понимается значение интервала посту­пления или задержки.

Таблица 4.24

Пример 4.21

К этой функции можно обратиться таким образом:

Пример 4.22

Пусть в моделируемой системе время обслуживания некоторым устройством распределено равномерно на интервале A± 2, где сред­нее время обслуживанияAcвероятностью 0,4 принимает значение 5,acвероятностью 0,6 – значение 7. Эту ситуацию можно смоделиро­вать следующим образом.

Определим функцию AVERAGET:

Используемее в блоке ADVANCE:

ADVANCE FN$AVERAGE_T,2

Выполнение подпрограммы блока ADVANCEвключает расчет функцииAVERAGE_T. Это, в свою очередь, требует обращения к ге­нератору случайных чиселRN1. Пусть генератор выдал значение меньшее, чем 0,4. Тогда соответствующее значение функцииAVERAGE_T равно 5. Таким образом, время задержки текущего транзакта в устройстве будет равномерно распределено на интервале 5±2.

Непрерывные случайные переменные, рассматриваемые как дискретные. Как известно, дискретные случайные переменные могут принимать только фиксированное число значений. В противо­положность этому, непрерывные (в классическом смысле этого тер­мина) случайные переменные могут иметь неограниченное число различных значений.

На практике обычно достаточно, чтобы все случайные перемен­ные имели конечное число конкретных значений. Нет необходимости в тщательном определении значений этих случайных переменных, за исключением случаев, когда необходимо делать расчеты cвысокой степенью точности. Таким образом, вполне возможна дискретизация непрерывных распределений. После этого они могут быть определе­ны вGPSScпомощью дискретных и непрерывныхGPSS-функций (непрерывныеGPSS-функции по сути также являются дискретными, поскольку множество их значений дискретно и конечно).

Функции распределения случайных величин. В языкеGPSSвозможность задания функций распределения случайных величин ог­раничена заданием их в табличном виде путем аппроксимации непре­рывными функциями. Поэтому можно задать только те функции, ко­торые легко преобразовать для новых значений параметров. К таким функциям, например, относится функция экспоненциального распре­деленияcпараметром λ = 1, А также функция стандартного нормаль­ного распределенияcматематическим ожиданиемт = 0 и стандарт­ным отклонением σ = 1.

Эти ограничения не касаются языка GPSSWorld, в котором для задания различных вероятностных функций распределения можно использовать библиотечные процедуры, написанные на языкеPLUS. Однако использование вероятностных распределений в табличном виде значительно ускоряет процесс моделирования.

Моделирование пуассоновского потока. Рассмотрим таблич­ный способ задания пуассоновского потока заявок. Пуассоновский входящий поток описывается таким образом: вероятность поступле­нияk заявок пуассоновского потока в течение интервалаtсоставляет

где λ – интенсивность потока.

Интервалы времени между соседними заявками пуассоновского потока распределены по экспоненциальному закону. Согласноме­тоду обратной функции, можно получить ряд чисел, которые имеют экспоненциальное распределение, если ряд случайных чиселR, рав­номерно распределенных на интервале [0,1], преобразовать в соот­ветствииcфункцией, обратной к экспоненциальной функции распре­деления:

где t_j –j-й разыгранный интервал времени поступления;– средний интервал времени поступления;r_j –j-e число в последова­тельности случайных чиселR cравномерным распределением на ин­тервале [0, 1].

Разработчиками GPSSбыла осуществлена аппроксимация функцииF^-1 (x), обратной к экспоненциальной функции распределе­нияcпараметромλ= 1. Таким образом, функцияF^-1 (x) была заме­нена 23 отрезками, которые использовались для преобразования значенийRNjв значение –ln(RNj).

Функция XPDIS определяет экспоненциальное распределениеcинтенсивностью λ = 1 :

Пуассоновский входящий поток cинтенсивностью λ, отличной от единицы, моделируетсяcпомощью блокаGENERATE таким об­разом:

1) в качестве операнда А используют среднее значение ин­тервалов времениT= 1/λ, где λ – интенсивность пуассо­новского потока;

2) в качестве операнда Виспользуют СЧА – значение функцииXPDIS, операторы определения и описания которой приведены выше.

Пример 4.23

Пусть среднее значение интервалов поступления Т в пуассоновском потоке требований равно 2 ч, А единица времени в модели равна 1 мин, тогда поступление заявок моделируется блоком:

GENERATE 120,FN$XPDIS

Если необходимо моделировать задержку, распределенную noэкспоненциальному закону со средним значением времени 345, то для этого используется блок:

ADVANCE 345,FN$XPDIS

Свойство ординарности пуассоновского потока гла­сит: вероятность поступления двух или более заявок в тече­ние малого временного интервала равна нулю.

Пусть пуассоновский поток моделируется блоком

GENERATE 5,FN$XPDIS

Если в результате обращения к функции XPDISполученное зна­чение меньше, чем 1/5, то целая часть произведения числа 5 и значе­ния функцииXPDISравна нулю. Отсюда следует нарушение свойст­ва ординарности. Во избежание этого рекомендуется, чтобы операнд А в блокеGENERATE былбольше 50. Это легко достигается путем варьирования значения единицы модельного времени.

Моделирование гипер– и гипоэкспоненциального распреде­лений. Экспоненциальную функцию распределения можно использо­вать также для моделирования гипер – и гипоэкспоненциального распределений.

Неэкспоненциальное распределение cкоэффициентом вариа­ции* C > 1 можно получитьcпомощью взвешенной суммы экспонент –гиперэкспоненциального распределения:

* Коэффициент вариацииC– это отношение стандартного отклонения к математическому ожиданию случайной величины.

Если μ_i= μ для всехi, тоC = 1 – имеем экспоненциальное рас­пределение.

Гиперэкспоненциальное распределение можно получить при параллельном соединении k (рис. 4.6) экспоненциальных обслужи­вающих устройствcинтенсивностью обслуживания μ_iи вероятно­стью ω_iиспользования для обслуживания. Причем в произ­вольный момент времени может быть занято не более одного устрой­ства изk. Такое распределение хорошо описывает распределение времени работы центрального процессора компьютера.

Рис. 4.6

Для моделирования гиперэкспоненциального распределения со средним значением 6,28 и стандартным отклонением 8,4 необходимо определить переменную

HYP FVARIABLE (410+(RN2'L'234)(#(1334-410)))#FN$XPDIS

Эту переменную можно использовать в блоке задержки так:

ADVANCE V$HYP

Гипоэкспоненциальное распределение cкоэффициентом ва­риацииC<1 описывается таким образом:

При равенстве всех коэффициентов μ распределение времени пребывания в обслуживающем центре (на рис. 4.7 обведен пунктир­ной линией) будет k-распределением Эрланга:

Гипоэкспоненциальное распределение характерно, например, для времени обслуживания устройств ввода-вывода. Его можно по­лучить последовательным соединением обслуживающих экспоненциальных устройств, причем в любой момент времени должно быть занято не более одного устройства (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Моделирование эрланговского потока. Экспоненциальное распределение не всегда адекватно описывает время обслуживания и поступления требований в систему. Более реалистичным является распределение Эрланга. В то же время, это распределение является частным случаем гамма-распределения, которое описано ниже. Для потока Эрлангаk-го порядкаcинтенсивностью λ математическое ожидание и дисперсия определяются так:. Для моделированияраспределения Эрланга может также использоваться экспоненциальная функция распределения. Как было показано в гла­ве 1, для этого достаточно просуммироватьk случайных экспоненциально распределенных величин.Cростомk распределение Эрланга будет приближаться к нормальному распределению. Например, поток Эрланга второго порядка со средним значением времени поступления 180 можно задать таким образом:

В нулевой момент времени в модель вводится транзакт. Этот транзакт в каждом их двух последующих блоков ADVANCEзадер­живается на экспоненциально распределенный промежуток времени. БлокSPLIT (подробнее см. в параграфе 4.19) создает копию транзакта и направляет ее на блокcметкойSDFG, исходный транзакт посту­пает в модель и т.д.

Пример 4.24

Для того, чтобы исследовать свойства распределения Эрланга можно воспользоваться следующей моделью:

Оператор TABLE, блокиSPLIT, SAVEVALUE и TABULATE использованы для сбора статистики об интервалах прихода транзактов в модель (об их назначении см. в параграфах 4.17, 4.19 и 4.21).

Построенная в результате моделирования гистограмма (при ис­пользовании оператора START 100000000) приведена на рис. 4.8. Читателю предлагается исследовать распределение Эрланга при различных значенияхk, путем изменения количества блоковADVANCE в приведенной программе.

Рис. 4.8

Моделирование нормального закона распределения. Функ­ция стандартного нормального закона распределенияcпараметрамиm = 0, σ= 1 задается вGPSS24 отрезками следующим образом:

Для того, чтобы получить функцию нормального распределения случайной величины Х cматематическим ожиданиемт_х ≠ 0 и сред­неквадратичным отклонениемσ_х ≠ 1, необходимо произвести вычис­ления по формуле

где Z– случайная величина со стандартной нормальной функцией распределения. Например, если случайная величина Х имеет пара­метрыm_x = 60 иσ_x = 10, то вGPSSэта случайная величина моделируется так:

NOR1 FVARIABLE 60+10#FN$NOR

Если необходимо осуществить задержку по этому закону рас­пределения, то используется блок

ADVANCE V$NOR1

При использовании функции нормального распределения для блоков GENERATE и ADVANCE необходимо обеспечить неотрицательность значений интервалов поступ­ления и задержки. Это можно сделать, еслиm_x ≥ 5σ_x.

Моделирование других законов распределения. Все другие виды функций распределения случайных величин вGPSS/PCнеобхо­димо задавать табличным способом для конкретных значений пара­метров этих функций. Для этого можно использовать специальные программы, которые позволяют числовым способом вычислять необ­ходимое значение числа отрезков аппроксимации этих функций, как это сделано, например, в системе ИСИМ [5]. Пример меню такой программы представлен на рис. 4.9.

Рис. 4.9

Описание функции гамма-распределения для параметров (рис. 4.9):

Моделирование вероятностных функций распределения в GPSS World. ВGPSSWorldв библиотеку процедур включено 24 ве­роятностных распределений. При вызове вероятностного распределе­ния требуется определить аргументStream (может быть выражени­ем), который определяет номер генератора случайных чисел. При мо­делировании генераторы случайных чисел создаются по мере необ­ходимости и их явное определение не обязательно. Большинство ве­роятностных распределений имеют некоторые параметры. Аргументы процедур, называемые обычноLocate, Scale и Shape, часто ис­пользуются для этих целей. АргументLocate используется после по­строения применяемого распределения и прибавляется к нему. Это позволяет горизонтально перемещать функцию распределения по осиX. АргументScale обычно меняет масштаб функции распределения, А Shape – ее форму.

Встроенная библиотека процедур содержит следующие вероят­ностные распределения:

1) бета (Beta);

2) биномиальное (Binomial);

З) Вейбулла(Weibula);

4) дискретно-равномерное (DiscreteUniform);

5) гамма (Gamma);

6) геометрическое (Geometric);

7) Лапласа (Laplace);

8) логистическое (Logistic);

9) логлапласово (LogLaplace);

10) логлогистическое (LogLogistic);

11) логнормальное (LogNormal);

12) нормальное (Normal);

13) обратное Вейбулла (InverseWeibull);

14) обратное Гаусса (Inverse Gaussian);

15) отрицательное биномиальное (NegativeBinomial);

16) Парето (Pareto);

17) Пирсона типа V (Pearson Type V);

18) Пирсона типа VI (Pearson Type VI);

19) Пуассона (Poisson);

20) равномерное (Uniform);

21) треугольное (Triangular);

22) экспоненциальное (Exponential);

23) экстремального значения A(ExtremeValueА);

24) экстремального значения В (ExtremeValueВ).

В качестве примера покажем, как для генерации потока транзактов можно использовать библиотечную процедуру экспоненциально­го распределения cпараметром λ = 0,25 и использованием генератора случайных чиселRN1 :

GENERATE (Exponential(l ,0,(l/0.25)))

Из всех приведенных распределений опишем те, которые наибо­лее часто используются на практике.

Логарифмически нормальное распределение. Логарифмиче­ски нормальное распределение (логнормальное) – это распределение случайной величины, натуральный логарифм которой нормально распределен. Это распределение пригодно для моделирования муль­типликативных процессов так же, как нормальное – для аддитивных.

Cпомощью центральной предельной теоремы можно показать, что произведение независимых положительных случайных величин стремится к логарифмически нормальной случайной величине.

Логнормальная случайная величина формируется под влиянием большого числа независимых факторов, причем каждый отдельный фактор оказывает равномерно незначительное и равновероятное по знаку влияние. Прирост каждого следующего фактора пропорциона­лен уже достигнутому к этому времени значению исследуемой вели­чины. Toесть рассмотренный характер воздействия является мульти­пликативным.

Функция плотности логнормального распределения:

если Х > λ, в противном случае –f_η(x) = 0.

Если после логарифмирования каждого элемента некоторого на­бора данных этот трансформированный набор данных нормально распределен, то исходные данные логарифмически нормально рас­пределены.

Это распределение используется при моделировании экономи­ческих, информационных, физических и биологических систем. Оно хорошо моделирует процессы в случае, когда значение наблюдаемой переменной является случайной долей от значения предыдущего на­блюдения.

Примерами использования этого распределения могут быть:

1) размеры и вес частиц, образуемых при дроблении;

2) доход семьи;

3) зарплата работников;

4) долговечность изделия, работающего в режиме износа и ста­рения;

5) размер банковского вклада;

6) длины слов в языке;

7) длины передаваемых сообщений.

Например, когда неизвестно распределение длины передавае­мых сообщений, размера файлов или длины запроса к базе данных, то cбольшой вероятностью можно предположить логнормальное распределение для этих величин.

Математическое ожидание и дисперсия логнормально распреде­ленной случайной величины таковы:

где параметр σ задает среднеквадратическое отклонение, μ – матема­тическое ожидание из нормального распределения, λ –величину сдвига для определения местоположения распределения.

Для вызова логнормального распределения используется биб­лиотечная процедура

LOGNORMAL(Stream, Locate, Scale, Shape),

где Stream – номер генератора случайных чисел, автоматически пре­образуется в целое число, которое должно быть больше или равно 1 ;Locate=λ, Scale=σ; Shape=μ. Все параметры обязательные.

Гамма-распределениеявляется обобщенным распределением Эрланга для случая, когда число А суммируемых величин является нецелым. Гамма-распределенная величина имеет значения от 0 до ∞, то есть неотрицательна. Если α – целое, то это будет распределение Эрланга.

Функция распределения значительно изменяет свою форму при различных параметрах, что позволяет использовать это распределе­ние для моделирования различных физических явлений.

Гамма-распределение можно интерпретировать как сумму квад­ратов нормально распределенных случайных величин, то есть как χ-распределение.

Таким образом, χ²-распределение, распределение Эрланга и экспоненциальное распределение являются частными случаями гам­ма-распределения.

Функция плотности гамма-распределения имеет вид:

гдегамма-функция Эйлера.

Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределенной случайной величины таковы:

где параметр αзадает форму распределения,β- масштаб для сжатия или растяжения распределения, λ – величину сдвига для определения местоположения распределения.

Для вызова гамма-распределения используется библиотечная процедура

GAMMA (Stream, Locate, Scale, Shape),

где Stream – номер генератора случайных чисел, автоматически пре­образуется в целое число, которое должно быть больше или равно 1;Locate=λ, Scale=β, Shape=α. Все параметры обязательные.

Когда аргумент Shape равен 1, гамма-распределение вырожда­ется в экспоненциальное. Это означает, чтоGAMMA(Stream, Lo­cate, Scale, 1) имеет то же распределение, что иEXPONENTIAL (Stream, Locate, Scale).

Распределение Вейбулла. Это распределение используется яри моделировании жизненного цикла сложного изделия или инди­видуума.

Функция плотности распределения Вейбулла имеет вид:

при Х >α, в противном случае –f(x) = 0.

Математическое ожидание и дисперсия:

где Г(α) – гамма-функция Эйлера, параметр α задает форму распре­деления, β – интенсивность отказов, λ – величину сдвига для опреде­ления местоположения распределения.

Для вызова распределения Вейбулла используется библиотечная процедура

WEIBULL (Stream, Locate, Scale, Shape).

где Strcam номер генератора случайных чисел, автоматически преоб­разуется в целое число, которое должно быть больше или равно 1 ;Locate=λ; Scale=β; Shape=a. Все параметры обязательные.

На рис. 4.10 изображен «жизненный цикл» сложного изделия, в котором можно выделить три подцикла (им соответствуют три ука­занных на графике участка). Каждому периоду соответствует своя функция β(x) и, следовательно, свой закон распределения времени жизни изделия. Для участка приработки изделия α< 1, для участка нормальной эксплуатации α = 1, для участка старенияα> 1.

Рис. 4.10

Когда аргумент Shape равен 1, распределение Вейбулла вырож­дается в экспоненциальное. Это означает, чтоWEIBULL (Stream, Locate, Scale, 1) имеет то же распределение, что иEXPONENTIAL (Stream, Locate, Scale).