logo
Обработка данных / Томашевский_Имитационное моделирование в среде GPSS_2003

9.5. Факторный план

При экспериментировании cмоделью различают входные и вы­ходные переменные. Входные переменные называютсяфакторами. Выходные переменные называютсяоткликами. Каждый фактор в эксперименте может принимать одно или несколько значений, назы­ваемымиуровнями фактора. Множество уровней факторов опреде­ляет одно из возможных состояний моделируемой системы и представляет условия проведения одного из возможных экспериментов. Существует определенная связь между уровнями факторов и откли­ками системы, которая обычно заранее неизвестны. Эту связь можно определить следующим образом:

где уll-й отклик,nчисло анализируемых откликов,xii-й фактор,т – число факторов.

Функция ψ в правой части называется функцией отклика или реакции. Ее геометрический образ – поверхность отклика. Так как функция ψ заранее не известна, то используют другую приближен­ную функцию:

Эти функции φlнаходят по данным эксперимента и представ­ляют в виде степенного полинома первого, второго и, реже, третьего порядка. После проведения экспериментов аппроксимирующие полиномы заменяют уравнениями регрессии и методом наименьших квадратов находят статистические оценки их неизвестных коэффици­ентов.

Факторный эксперимент может быть отсеивающий, когда из всего множества факторов определяются те факторы, которые суще­ственно влияют на отклики модели. Второй вид факторного экспери­мента используется для определения экстремальных значений на по­верхности отклика. В этом случае серия факторных экспериментов планируется так, чтобы достичь экстремума на поверхности отклика.

Факторный эксперимент представляет собой план, в котором все уровни каждого фактора встречаются в сочетании со всеми уровнями всех других факторов. Различные уровни некоторого фактора могут соответствовать качественным значениям (например, разные дисциплины обслуживания в устройстве) или количественным значе­ниям (например, число устройств обслуживания). Если факторf,(f= l,...,K) имеетLfуровней, то общее число комбинаций уровней оп­ределяется произведением:

Если число уровней для каждого из факторов одинаково, то об­щее число комбинаций будет Lk.

Левая часть выражения (9.1) используется для обозначения фак­торного плана.

Применение факторного плана вместо классической схемы, со­гласно которой каждый раз изменяется только один фактор, имеет ряд преимуществ.

Рассмотрим пример 2-х факторного эксперимента, cдвумя фак­торами на 2-х уровнях иcдвумя наблюдениями в каждом опыте, т.е. план22. Факторы принято обозначать буквами латинского алфавитаA,B, С и т.д.

Результаты экспериментов сведем в таблицу 9.1.

Таблица 9.1

Фактор А

Фактор В

Уровень 1

Уровень 2

Уровень 1

y111

y112

y121

y122

Уровень 2

y211

y212

y221

y222

В этой таблице yijg обозначаетg-e наблюдение(g = 1,2) в ячейкеi,j. Количество наблюдений (прогонов модели)g определяется же­лаемой точностью получения оценок откликов.

В общем случае в 2-х факторном эксперименте число уровней факторов А иВ равно соответственноI иJ. Обозначим математиче­ское ожиданиеE(yijg)=ηij, тогда в планировании эксперимента предполагается верной следующая модель:

где eijgошибка опыта. Предполагается, что все эти ошибки являют­ся независимыми нормально распределенными случайными величи­намиcматематическим ожиданием 0 и дисперсией σ2. При имитации ошибки опытов можно сделать независимыми, применяя различные последовательности случайных чисел при прогонах модели.