3.5. Определение количества реализаций при моделировании случайных величин

Число испытаний N определяет точность получаемых результа­тов моделирования. Если необходимо оценить величину параметра А по результатам моделирования .x_i, то за оценку следует брать величи­ну , которая выступает в функции отx_i.

Из-за случайности будет отличаться ота, то есть

где ε – точность оценки. Вероятность того, что данное неравенство выполняется, обозначим через αа :

Для определения точности результатов статистических испыта­ний необходимо воспользоваться выражением (3.17).

Определение количества реализаций для оценки вероятно­сти наступления события. Пусть целью моделирования будет опре­деление вероятности наступления некоторого событияА, определяющего состояние моделированной системы. В любой изNреализа­ций процесс наступления события А является случайной величиной, которая может приобретать значениеx₁ = 1 cвероятностьюp иx₂ = 0cвероятностью 1 –р. Тогда можно найти математическое ожидание

и дисперсию

В качестве оценки p используют частоту наступления собы­тияА. Эта оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

При условии, что Nзаведомо задано, достаточно накапливатьт:

где ξ_i– наступление события А в реализации, ξ_i-={l,0}.

По формулам (3.18-3.20) находим

В соответствии cцентральной предельной теоремой (в данном случае можно взять теорему Лапласа) случайная величинабудет иметь распределение, близкое к нормальному (рис.3.13). Поэтому для каждой достоверностиαиз таблиц нормального распределения можно найти такую величинуt_а, что точность ε будет равняться ве­личине

Рис. 3.13

При α = 0,95 t_α = 1,96.

При α= 0,997t_α = 3.

Подставим в уравнение (3.21 ) выражение дисперсии

Отсюда находим

Поскольку вероятность p заранее неизвестна, прибегают к проб­ным испытаниям(N = 50...100), получают частотуи подставляют ее значения в выражение (3.23) вместоp, после чего определяют ко­нечное количество испытаний.

Определение количества реализаций для оценки среднего значения случайной величины. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание А и дисперсию σ². В реализацииcномеромi она принимает значение x_i. Для оценки математического ожидания А используем среднее

В соответствии cцентральной предельной теоремой при боль­ших значенияхN среднее арифметическое будет нормально распределеноcматематическим ожиданием А и дисперсиейтогда

Отсюда

Поскольку дисперсия оцениваемой случайной величины неиз­вестна, необходимо провести 50-100 испытаний и оценить σ², А по­том полученное значение оценки подставить в формулу (3.26), чтобы определить необходимое количество реализацийN.