9.6. Дисперсионный анализAnovAв планировании экспериментов

Для определения, является фактор значимым или нет, использу­ется дисперсионный анализ ANOVA(analysisofvariance), который применим только к количественным факторам.Cпомощью него определяются количественные отклонения наблюдений от среднего значения. Если какой-либо фактор не оказывает влияние на отклик, то он является незначимым.Cдругой стороны, если фактор влияет на отклик, то его (фактора) количественное значение сравниваютcоценкой изменчивости наблюдения, то есть со стандартной ошибкой.

Это делается для исключения эффектов, которые являются не более чем случайной флуктуацией.

Неявно в ANOVAиспользуется аддитивная математическая мо­дель, которая определяет компоненты изменения в наблюдениях. Ее называют статистической моделью. Самая простая статистическая модель:

т.е. каждое i-eнаблюдение представляет собой общее среднее по всем опытам μ, и случайную ошибкуe_ig. Bэтой модели общее среднее не изменяется от опыта к опыту, в отличие от ошибки.

Статистическая модель для анализа данных экспериментов cод­ним фактором А имеет следующий вид:

где α^A_i – главный эффект фактора А на уровнеi. Все наблюдения на данном уровне обработки анализируются, используя то же самое зна­чение дляα^A. Так как в этом эксперименте имеется только один фак гор, число комбинаций обработки определяется числом уровнейIэтого фактора.

Для двух факторов общая модель факторного плана такова:

где α^B_j – главный эффект фактораВ на уровнеj; – взаимодействие фактора А на уровнеi и фактораВ на уровнеj. Сумма эффектов двух факторов не равна сумме их отдельных эффектов из-за взаимодейст­вия между ними. Главный эффект фактора определяет долю участия фактора в значении функции отклика во время перехода егоcнижне­го уровня к верхнему.

Дисперсионный анализ, основанный на статистической модели (9.2), заканчивается построением таблицы ANOVA, в которой анали­зируется влияние факторовА, В, взаимодействие между факторамиAB и случайные помехи наблюдения.

CпомощьюANOVAпроверяется гипотеза об отсутствии влия­ния фактора. Если справедлива гипотеза об отсутствии влияния фак­тора, то считается, что все наблюдения получены из одной генераль­ной совокупности. Для проверки гипотезы используетсяF-распределение Фишера. Критерий Фишера определяет отношение двух выборочных дисперсий. Если фактор существенно влияет на отклик, то значенияF-распределения принимает большие значения иF-cтатистика становится значимой. Таким образом, большие значенияF приводят к отбрасыванию гипотезы об отсутствии влияния фактора, т.е. фактор являетсязначимым.