Вопрос 30.1. Классификация простых полей. Простые расширения полей. Поле разложения многочлена.

Опр. Полем наз. коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Опр. Поле наз. простым, если в нем нет собственных подполей.

Опр. Если Р< P’, то P’ наз. расширением поля Р.

Опр. Делитель d(x) P(x) многочлена f(x) P[x] наз. собственным , если 0< deg d(x)< deg f(x) и несобственным в противном случае.

Опр. Многочлен f(x) P[x] наз. неприводимым над полем P (или неприводим в кольце P[x]), если deg f(x) >o и f(x) не имеет собственных делителей в кольце P[x].

Теорема. Для любого поля Р и неприводимого многочлена f P[x] существует поле Q>P: Q=P(), где  - корень f.

Д-во:

Рассмотрим : P[x]  =Q

a Q, deg a = 0  a P  P<Q

x Q : f(x)0 (mod f)  x – корень f в поле Q.

Q=P(x) , =x (x - класс эквивалентности в фактор-кольце )

Опр. Поле Q в условии теоремы наз. полем разложения многочлена f.

Теорема. Любое конечное поле является полем разложения многочлена.

Д-во:

Пусть a P, =q. если а 0, то a P* (P* - группа по умножению). =q-1  =e  а – корень -е  любой элемент поля Р является корнем многочлена x ( -е)= -x  Р – поле разложения многочлена -x над .