Алгебра Вопрос 2.1. Определение группы, примеры. Циклические группы и их свойства.

Опр. Пусть G – множество. Бинарной операцией на мн-ве G наз. однозначное отображение :G*GG

Опр. Группоид (G, ) – мн-во с заданной на нем бинарной операцией.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Операция * наз. коммутативной (абелевой), если для любых g,h  G выполняется g*h=h*g.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Операция * наз. ассоциативной, если для любых a,b,c  G выполняется a*(b*c)=(a*b)*c.

Опр. Ассоциативный группоид наз. полугруппой.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Нейтральным элементом группоида (G,*) наз. e  G : e*g=g*e=g для любого g  G.

Опр. Пусть (G,*) – группоид и существует нейтральный элемент е. Тогда g  G наз. обратным к h  G, если g*h=h*g=e.

Опр. Группоид (G,*) наз. группой, если:

1. существует нейтральный элемент

2. операция * ассоциативна

3. для любого элемента g  G существует обратный

Опр. Подгруппой группы G наз. подмн-во H мн-ва G само являющееся группой.

Опр. Пусть M подмн-во G, (G,*)- группа. Тогда подгруппой группы G, порожденной модмн-вом M, наз. пересечение всех подгрупп гркппы G, содержащих М.

Опр. Тривиальными подгруппами являются группа е и группа G.

Опр. Нетривиальная подгруппа наз. собственной.

Опр. Группа, порожденная одним элементом, наз. циклической.

Опр. Порядком конечной группы явлю число элементов в ней. Обозначение .

Опр. Пусть (G,*) – группа, g  G.Порядком элемента g наз. минимальное натуральное n: , если оно существует, или бесконечность в противном случае.

Теорема. Порядок элемента группы совпадает с порядком порожденной им циклической подгруппы. = ord g.

Д-во:

{ =e, , …}

1. Пусть ord g = , тогда , ... – все различные  <g> бесконечная группа.

2. Пусть ord g = n. Тогда е, , ... , =е, , ... То есть  <g>= { е, , ... }  =n.

Пример циклической группы: ( )