Метод Гаусса.

Суть метода состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное   x₁,   далее из всех уравнений, кроме первого и второго, исключаем неизвестное   x₂,  и т.д. На практике принято все эти действия проводить не над уравнениями системы, а над строками расширенной матрицы. К элементарным относятся следующие преобразования:

1)  умножение (деление) на число, отличное от нуля, элементов какой-либо строки;

2)  сложение элементов какой-либо строки с соответствующими элементами другой строки, предварительно умноженными на ненулевое число;

2)  перестановка строк матрицы;

3)  вычеркивание из матрицы нулевых строк, одной из двух одинаковых строк,   одной из двух пропорциональных строк,   вычеркиваются строки, линейно-зависимые от других строк.

В результате элементарных преобразований получается матрица, эквивалентная исходной, т.е. матрица, имеющая такой же ранг. На ее основе составляется система, эквивалентная исходной, но более простая в решении и анализе, так как в последнем уравнении останется только одно неизвестное, в предпоследнем  два и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Отметим, что параллельно при этом решается вопрос о совместности системы и количестве решений (единственное или бесконечное множество.)

Обратный ход состоит в следующем: из последнего уравнения находим единственное входящее в него неизвестное, подставляем полученное значение в предпоследнее уравнение и находим второе неизвестное и т.д. пока не дойдем до первого уравнения, в котором уже найдены все неизвестные, кроме одного. Таким образом получим совокупность значений неизвестных, образующих решение системы.