Вопрос 29.1. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин

Теорема. Пусть ₁, ₂, … —  независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой

дисперсией: 0<D₁<. Обозначим через S_n сумму первых n случайных величин: S_n=₁+…+_n.

Тогда последовательность с. в. слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство. Пусть ₁, ₂, …  —  последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через a математическое ожидание E₁ и через ² —  дисперсию D₁. Требуется доказать, что

Введем стандартизованные случайные величины  —  независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями. Пусть Z_n есть их сумма . Требуется доказать, что

Характеристическая функция величины  равна

(26)

Характеристическую функцию с.в. ₁ можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты E₁=0, E₁²=D₁=1. Получим

Подставим это разложение, взятое в точке , в равенство (26) и устремим к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом.

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному распределению, что и утверждается в ЦПТ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Вопрос 36.1. Основные понятия математической статистики: случайная выборка из распределения, выборочное пространство, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты.

Опр. Отправной точкой любого статистического анализа являются данные, полученные экспериментатором в результате опыта. Допустим, что опыт состоял из n повторных измерений некоторой неизвестной величины и в результате получены значения …. . Эти значения естественно считать реализацией набора из n независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестной функцией распределения F=F(t).. Вектор данных x=( …. ) называется независимой выборкой объема n из неизвестного распределения F.

Опр. Пространство элементарных событий наз. выборочным пространством или пространством исходов.

Опр. Если элементы выборки …. упорядочить по возрастанию на каждом элементарном исходе, то получится новый набор случайных вуличин, называемый вариационным рядом.

Опр. Эмпирической функцией распределения называется функция :R[0,1], вычисляемая по выборке x=( …. ) следующим образом: = то есть, есть отношение числа элементов выборки, не превосходящих t, к объему выборки.

Опр. Величины, вычисляемые по выборке, = и = называются выборочным средним и выборочной дисперсией.

Опр. Величина = наз k-ым выборочным моментом.