Вопрос 9.1. Определение группы, примеры. Симметрическая группа подстановок. Теорема Кели. Системы образующих симметрической и знакопеременной групп.

Опр. Пусть G – множество. Бинарной операцией на мн-ве G наз. однозначное отображение :G*GG

Опр. Группоид (G, ) – мн-во с заданной на нем бинарной операцией.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Операция * наз. коммутативной (абелевой), если для любых g,h  G выполняется g*h=h*g.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Операция * наз. ассоциативной, если для любых a,b,c  G выполняется a*(b*c)=(a*b)*c.

Опр. Ассоциативный группоид наз. полугруппой.

Опр. Пусть (G,*) – группоид. Нейтральным элементом группоида (G,*) наз. e  G : e*g=g*e=g для любого g  G.

Опр. Пусть (G,*) – группоид и существует нейтральный элемент е. Тогда g  G наз. обратным к h  G, если g*h=h*g=e.

Опр. Группоид (G,*) наз. группой, если:

1. существует нейтральный элемент

2. операция * ассоциативна

3. для любого элемента g  G существует обратный

Опр. Подгруппой группы G наз. подмн-во H мн-ва G само являющееся группой.

Опр. Пусть M подмн-во G, (G,*)- группа. Тогда подгруппой группы G, порожденной модмн-вом M, наз. пересечение всех подгрупп гркппы G, содержащих М.

Опр. Тривиальными подгруппами являются группа е и группа G.

Опр. Нетривиальная подгруппа наз. собственной.

Опр. Подгруппы группы S() наз. группами подстановок мн-ва , а любая подгруппа группы Sn наз. группой подстановок степени n.

Пример:

Теорема Кели. Произвольная группа (G,*) изоморфна некоторой подгруппе группы (S(G),*).

Д-во: Поставим в соответствие каждому элементу gG отображение : GG, определяемое условием : для любого x G (x)=xg.

Покажем, что  S(G). Действительно, - сюрьективно, так как для любого y G выполняется (y )=y;

- инъективно, так как для любых x, y G выполняется (x)= (y)  xg=yg x=y.

Таким образом = - подстановка на G.

Теперь покажем, что отображение :GS(G), определяемое правилом : для любого gG (g)= - есть мономорфизм. Это отображение инъективно, так как если ( )=( ) для любых , G, то = , то тогда = (е)= (е)= . Наконец,  - гомоморфизм группы (G,*) в группу (S(G),*), так как для любых h,g G и любого x G справедливы соотношения (gh)= , (x)=xgh=(xg)h= (x)h= (x)=( )(x),

Доказывающие равентсво (gh)= (g) (h).

Итак  - мономорфизм G в S(G) и следовательно (G) подгруппа группы S(G), изоморфная G.

Опр. Говорят, что числа , в перестановке s=( … )образуют инверсию, если большее из них расположено левее меньшего, то есть если < и k>l , то есть инверсия.

Опр. Перестановку наз. четной если она содержит четное число инверсий, и нечетной в противном случае.

Опр.Подстановку g= Sn наз. четной, если перестановка ( … ) четная, и нечетной в противном случае.

Опр. Преобразование перестановки, заключающееся в перемене местами каких-либо двух ее элементов , наз. транспозицией.

Опр. Транспозицией в Sn наз любой цикл длины 2.

Опр. Подгруппу An всех четных подстановок группы Sn наз. знакопеременной группой подстановок степени n.

Теорема. Группа Sn порождается:

1. множеством всех транспозиций

2. множеством всех транспозиций вида (1,а) a 

3. множеством всех транспозиций вида (a,a+1) a 

4. транспозицией (1,2) и полным циклом (1,2,...,n).

Теорема. Знакопеременная группа An степени n 3 порождается всеми циклами длины 3.