5.2. Интерполирование по двукратным узлам

Рассмотрим интерполирование поверхностей по дву-кратным узлам. Допустим, на плоской прямоугольной сетке ( x_i , у_j ), (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) наряду со значениями координаты по оси z некоторой поверхности z (x_i , у_j ) = z _{i j} заданы также значения её частных производных по x , у : z_х (x_i , у_j ) = z^х_{i j} , z_у (x_i , у_j ) = z^у_{i j} , а также смешанной производной z_ху (x_i , у_j ) = z^ху_{i j} .

Требуется построить квадратичную форму Н(x,у) мини-мально возможной степени, для которой:

Н( x_i , у_j ) = z _{i j} ; H_х (x_i , у_j ) = z^х_{i j} , H_у (x_i , у_j ) = z^у_{i j} ,

Н_ху (x_i , у_j ) = z^ху_{i j} (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) ,

т.е. в узлах сетки помимо значений заданной функции двух переменных z (x , у ) совпадают величины её частных и смешанной производных по x , у .

В скалярном виде искомую квадратичную форму можно представить как:

где h_i (x), h_j (y), Н_i (x), Н_i (y), Н_j (x), Н_j (y) – те же cпециальные функции, что и у полиномов Эрмита для двукратных узлов.

В векторном виде данная форма Эрмита может быть представлена следующим образом:

Н_n,m (x,у) =H(x)^Т ZH(y); (2.25)

68

где :

H(x)= ( h₀ (x), . . . , h_n (x),Н₀ (x) , . . . ,Н_n (x));

H(y)= ( h₀ (y), . . . , h_m (y);Н₀ (y) , . . . ,Н _m (y)).

Рассмотрим интерполирование в безразмерных нормиро-ванных координатах поверхностей по двукратным узлам на прямоугольном участке сетки [x₀,x₁] [у₀,y₁]. В её граничных точках заданы значения функции z(x, у) , её первые и смешанная производные. Переходя к безраз-мерным переменным t_х=(x-x₀)/h_х и t_у =(у-y₀)/h_y (где h_х = x₁ - x₀ , h_y = y₁ -y₀ ), и используя матрицу М_Э , решение для S(t_x, t_y) можно представить в виде:

S(t_x, t_y) = (M_ЭТ³_х)^Т Z (M_ЭТ³_y), (2.26)

Т_х³ и Т_у³ - степенные векторы переменных t_х и t_у .

69

Задачи.

1. Найти выражения для функций Лагранжа и построить квадратичные формы для следующих случаев интер-полирования поверхностей по однократным узлам:

а) n=1; х₀ = 1 ; х₁ = 2 ; m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂ =3 ;

z_0,0 = 1; z_0,1 = 4 ; z_0,2 = 5 ; z_1,0 = 2 ; z_1,1 = 3 ; z_1,2 = 6 ;

б) n=2;х₀ =-2 ; х₁ = -1;х₂ = 1; m =2; y₀ = 1 ; y₁ = 2 ; y₂ =3 ;

z_0,0 = -10; z_0,1 = -6 ; z_0,2 = z_1,0 = -4 ; z_1,1 = -2 ; z_1,2 = 0 ; z_2,0 = z_2,1 = 1 ; z_2,2 = 4.

2. Найти выражения для функций h_i (x), Н_i (x), h_j(y), Н_j (y) и построить квадратичные формы Эрмита для интерполирования поверхностей по двукратным узлам:

а) n=1; х₀ = 0 ; х₁ = 2 ; m =2; y₀ = - 1 ; y₁ = 0 ; y₂ =1 ;

z_0,0 = 5; z_0,1 = 3 ; z_0,2 = 6 ; z_1,0 = 8 ; z_1,1 = 5 ; z_1,2 = 7 ;

z^х_0,0 = 2; z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 0 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = 0 ;

z^у_0,0 = - 1; z^у_0,1 = 2 ; z^у_0,2 = 3 ; z^у_1,0 = - 2 ; z^у_1,1 = 1 ; z^у_1,2 = 3 ;

б) n=2; х₀ = -2; х₁ = -1 ; х₂ =1; m =2; y₀ = 0; y₁ = 1; y₂ =2 ;

z_0,0 = -8; z_0,1 = -10 ; z_0,2 = z_1,0 = -7 ; z_1,1 = -5 ; z_1,2 = -2 ; z_2,0 = -5 ; z_2,1 = -2 ; z_2,2 =1 ;

z^х_0,0 = 0; z^х_0,1 = 1 ; z^х_0,2 = 2 ; z^х_1,0 = 1 ; z^х_1,1 = 2 ; z^х_1,2 = z^х_2,0 = 1 ; z^х_2,1 = z^х_2,2 = 2 ;

z^у_0,0 = -1; z^у_0,1 =1 ; z^у_0,2 =3 ; z^у_1,0 = 0 ; z^у_1,1 =1 ; z^у_1,2 =0 ; z^у_2,0 = z^у_2,1 =1 ; z^у_2,2 =2.

70