§3. Основные способы задания прямых

Прямые и их части (отрезки, лучи) являются алгебраическими кривыми первого порядка.

1. Канонический способ. С помощью системы уравнений (1.4) как пересечение плоскостей.

2. С помощью направляющего вектора. Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀,y₀,z₀), параллельно направляющему вектору v=(a, b, c) имеет вид:

3. Параметрическое задание отрезка, луча и прямой, проходящих через две точки.

Отрезок прямой, соединяющий точки Р₁ и Р₂ (как на плоскости, так и в пространстве), задается с помощью параметра u следующим образом:

L(u) =Р₁ (1-u) +Р₂ u =Р₁ +(Р₂ -Р₁) u; 0  u  1. (1.6)

При этом L(0) =Р₁ ; L(1) =Р₂ .

Единичный вектор , направленный вдоль отрезка, имеет вид:

.

В плоском случае , в пространственном - .

Единичная нормаль n ⁺ к плоскому отрезку , повернутая на 90° против часовой стрелки:

13

n ⁺ = ( - t_y , t_x ).

Нормальn ^-, повернутая на 90° по часовой стрелке:

n ^- = - n ⁺ = ( t_y , - t_x ).

Векторы, нормальные к пространственному касательному вектору t = (t_x , t_y , t_z ), лежат в соответствующих нормальных плоскостях. Если плоскость задана тремя точками , ,, то условие ее перпендикулярности сt может быть представлено в виде двух равенств:

(t , )=0; (t , )=0.

Луч, выходящий изР₁ и проходящий через Р₂ , задается аналогично отрезку с той разницей, что 0  u   . У прямой, проходящей через Р₁ ,Р₁ область изменения параметра следующая -  .  u  +  . Направляющие векторы и нормали определяются так же , как и для отрезка.