§2. Задание плоских и пространственных линейных преобразований при помощи уравнений связи

В аналитической форме плоское линейное преобразова-ние можно представить в следующем виде:

x* =ax + by + e;

y* = cx + dy + f;

где x*, y* - преобразованные координаты,

a, b, c, d, e, f – постоянные коэффициенты.

На плоскости точку представляют с помощью двух ее ко-ординат (x, y), поэтому, для однозначного задания коэф-фициентов преобразования (a,b,c,d,e,f) необходимо указать три пары точек (Р₁→Р₁*), (Р₂→Р₂*), (Р₃ → Р₃*), которые должны переводиться одна в другую с помощью линейного преобразования. В этом случае число уравнений

117

равно числу неизвестных (6). Система уравнений связи будет следующая:

x₁*= ax₁+ by₁+ e;

y₁*= cx₁+ dy₁ + f;

x₂*= ax₂+ by₂+ e;

y₂*= cx₂+ dy₂ + f;

x₃*= ax₃+ by₃+ e;

y₃*= cx₃+ dy₃ + f.

В векторной форме зависимость можно представить в виде:

Р*= М∙А , где

x₁* a x₁ y₁ 0 0 1 0

y₁* b 0 0 x₁ y₁ 0 1

Р* = x₂* ; А = c ; М= x₂ y₂ 0 0 1 0 .

y₂* d 0 0 x₂ y₂ 0 1

x₃* e x₃ y₃ 0 0 1 0

y₃* f 0 0 x₃ y₃ 0 1

Определитель матрицы равен 0 тогда и только тогда, ког-да точки Р₁ ,Р₂ ,Р₃ лежат на одной прямой, т.е. размер-ность образуемой ими фигуры меньше 2. Если точки лежат на одной прямой, то координаты одной из них, напри-мер,Р₃ , всегда можно представить в виде линейной комбинации координат других:

Р₃ = Р₁ + Р₂ ,

причём  + = 1.

Отсюда следует, что две последних строки матрицы могут быть представлены в виде линейных комбинаций соот-ветствующих верхних строк с теми же числовыми коэф-фициентами. Из свойств определителей вытекает: det M=0. Поскольку все приведенные рассуждения обратимы, то из них следует и достаточность утверждения.

118

Если точки не лежат на одной прямой, то определитель не равен 0, и, следовательно, вектор коэффициентовА может быть найден в виде:

А=M ^-1∙Р* ,

где М ^-1 - матрица, обратная к М.

По аналогии с плоскими линейными преобразованиями в пространстве линейное преобразование можно представить в виде:

x*= ax+by+cz+r;

y*= dx+ey+fz+s;

z*= gx+hy+qz+t .

Система уравнений связи имеет вид:

Р* = М∙А,

где

x₁* a x₁ y₁ z₁ 0 0 0 0 0 0 1. 0 0

y₁* b 0 0 0 x₁ y₁ z₁ 0 0 0 0 1 0

z₁* c 0 0 0 0 0 0 x₁ y₁ z₁ 0 0 1

x₂* d x₂ y₂ z₂ 0 0 0 0 0 0 1 0 0

y₂* e 0 0 0 x₂ y₂ z₂ 0 0 0 0 1 0

Р*= z₂* ; А= f ; М= 0 0 0 0 0 0 x₂ y₂ z₂ 0 0 1

x₃* g x₃ y₃ z₃ 0 0 0 0 0 0 1 0 0

y₃* h 0 0 0 x₃ y₃ z₃ 0 0 0 0 1 0

z₃* q 0 0 0 0 0 0 x₃ y₃ z₃ 0 0 1

x₄* r x₄ y₄ z₄ 0 0 0 0 0 0 1 0 0

y₄* s 0 0 0 x₄ y₄ z₄ 0 0 0 0 1 0

z₄* t 0 0 0 0 0 0 x₄ y₄ z₄ 0 0 1

Определитель матрицы М равен 0 тогда и только тогда, когда точки Р₁ ,Р₂ ,Р₃ ,Р₄ лежат в одной плоскости и образуют плоскую, а не пространственную фигуру. Это утверждение можно доказать по аналогии с плоским случаем.

119

При пространственном расположении точек det М≠0 и система имеет единственное решение, вида:

А= М ^-1∙Р*.

Непосредственное определение линейных преобразований при помощи задания пар точек (Р_і ,Р_і*) и решение соответствующих уравнений связи мало наглядно и неудоб-но для машинной реализации. Поэтому этот подход мало используется на практике. Как правило, применяют матричное представление линейных преобразований.