1.2 Интерполирование по двукратным узлам

Для того, чтобы построить с помощью локальных сплай-нов кривые и поверхности, обладающие гладкостью 1-й степени (непрерывностью первой производной), необходи-мо использовать интерполирование по двукратным узлам. Допустим, в узлах x_i , (i = 0,1 ,...,n) наряду со значениями у(x_i)=у_i заданы величины первых производных у(x_i ) = у_i некоторой функции у(x), описывающей кривую. Требуется

построить сплайн S(x) минимально возможной степени, для которого S( x_i) = у_i , S (x_i ) = у _i (i = 0,1 ,...,n).

75

Рассмотрим отрезок [x_i,x_i+1]. В его граничных точках за-даны по два геометрических условия: у(x_i) = у_i , у(x_i) = у_i, у(x_i+1) = у_i+1, у (x_i+1) = у_i+1 . Введём на отрезке [x_i,x_i+1] нормированную переменную t= (x – x_i) / ( x_i+1 - x_i ) и обозначим h_i+1 = x_i+1 - x_i . В Главе 2 (2.17) дано явное решение для S_(i+1)(t) при помощи кубического интер-поляционного многочлена Эрмита:

S_(i+1)(t)=у_i_1i (t)+у_i+1_2i (t)+h_i+1 у_i_3i (t)+h_i+1 у_i+1_4i (t), (3.4 а)

где _1i(t),_2i(t),_3i (t),_4i (t) - полиномы Эрмита.

Используя матрицу М_Э , задающую переход от степен-ного вектора Т ³ к вектору значений полиномов Эрмита, и расширенный вектор Y ^*=( у_i , у_i+1 , h_i+1 у_i, h_i+1 у_i+1), искомый многочлен Эрмита можно представить в виде:

S_(i+1)(t)=(Y ^*, М_ЭТ ³). (3.4 б)

Кубический сплайн (3.4) обеспечивает гладкую степени 1 интерполяцию заданной кривой, причём в узлах интер-поляции угол наклона касательной к сплайну совпадает с углом для исходной кривой. На сплайне отсутствуют изло-мы, однако в общем случае в узлах интерполяции разрыв-ны высшие производные, начиная со второй .

Рассмотрим интерполирование поверхностей по двукрат-ным узлам двухмерными сплайнами. Пусть поверхность z(x,у) задана в узлах двухмерной сетки (x_i,у_j) (i = 0,1 ,..., n; j = 0,1 ,..., m) наборами значений z(x_i,у_j) = z_{i j} , а также част-ными производными по x , у : z_х (x_i , у_j ) = z^х_{i j} , z_у (x_i , у_j ) = z^у_{i j} и смешанной z_ху (x_i , у_j ) = z^ху_{i j} .

Требуется построить двухмерный сплайн S(x,у) мини-мально возможной степени, у которого бы для составляю-щих его квадратичных форм S_(i+1)(j+1)(x,у) выполнялись следующие равенства:

S_{(i+1) (j+1)} (x_i,у_j)=z_{i j}; S_{(i+1) (j+1)х}(x_i, у_j)= z^х_{i j},S_{(i+1) (j+1) у} (x_i ,у_j )= z^у_{i j}, S_{(i+1) (j+1)ху}(x_i,у_j)=z^ху_{i j}, (i = 0,1,...,n-1; j =0,1,...,m-1),

76

т.е. в узлах совпадали бы не только значения, но и первые и смешанная производные исходной функции z(x,у).

Как и в случае однократных узлов, рассматриваем прямо-угольный участок сетки [x_i,x_i+1] [у_j,y_j+1]. В его граничных точках заданы значения функции z(x, у) и её первые про-изводные. Переходя, как и в одномерном случае, к безраз-мерным переменным t_х=(x-x_i)/h_хi и t_у =(у-y_j)/h_yj (где h_хi = x_i+1 - x_i , h_yj = y_j+1 -y_j ), и используя матрицу М_Э , решение для S_{(i+1) (j+1)} (x,y) можно представить в виде:

гдеТ_х³ и Т_у³ - степенные векторы переменных t_х и t_у ,

Cплайны (3.4),(3.5) называют сплайнами Эрмита. Они являются обычными квадратичными формами Эрмита, построенными на узлах, расположенных в вершинах соответствующих прямоугольников.