§1. Основные аналитические способы задания кривых

1. Явный способ задания. В качестве независимой переменной выбирается, как правило, одна из координат, например, x, а две другие задают в виде функций от x:

y = y(x),

z = z(x), x₀ < x < x₁ . (1.1)

Пример 1.

Зависимости задают участок параболы, лежащей в плоскости y = z.

2. Неявный способ задания. Координаты точек задаются системой двух уравнений, описывающих поверхности:

f (x,y,z) = 0;

g(x,y,z) = 0. (1.2)

Пример 2.

Приведенная выше система уравнений определяет эллипс с полуосями (а,b) в плоскости z = 0, который образован пересечением эллипсоида с полуосями (а,b,с) с данной плоскостью.

11

3. Параметрический способ задания. В качестве независимой переменной выбирается некоторый параметр t. Все координаты точек на кривой выражаются через него:

x = x(t);

y = y(t); t₀ < t < t₁; (1.3)

z = z(t).

С помощью параметрического задания можно единой формулой описывать многозначные функции, что невозможно при явном задании. Параметру t зачастую задаётся некоторый физический смысл, например, времени или угла поворота.

Пример 3.

Зависимости описывают один виток спирали радиуса R с центральной осью z и шагом, равным 2.