Глава 3. Моделирование кривых и поверхностей при помощи сплайнов

При интерполяции кривых и поверхностей алгебра-ическими полиномами и квадратичными формами с возрас-танием числа геометрических условий растут и их степени. Отличительной особенностью полиномов и квадратичных форм высоких степеней является их осцилляция в про-межутках между узлами интерполирования. Это приводит к тому, что соответствующие кривые и поверхности имеют ”волнистый” вид. Он, как правило, неприемлем для разра-ботчиков по двум причинам: 1) исходный интерпо-лируемый объект имеет довольно гладкую поверхность, 2) образующаяся волнистая поверхность неудовлетво-рительна с эстетической точки зрения. Также многочлены высоких степеней чувствительны к ошибкам вычислений. С целью устранения этих недостатков для областей, содержащих большое число узлов, используют не один полином (квадратичную форму) высокой степени, а несколько таких объектов невысокой степени. Непрерывность таких кусочно-полиномиальных объектов, которые называют сплайнами, и их производных обеспечивается за счёт того, что их составляющие с нужной степенью гладкости m соединяются между собой в местах стыков. Случай m=0 соответствует непрерывному соединению полиномов (квадратичных форм) - без разрывов. При m=1 непрерывны первые производные, т.е. в местах соединения углы наклона касательных слева и справа также равны. В основном на практике используют полиномы и квадратичные формы нечётных степеней k (чаще всего – 3, реже – 1) , имеющие чётное число коэффициентов. Это обусловлено тем, что при однотипных геометрических условиях в краевых точках элементарных участков (отрезок, прямоугольник) их общее число также чётно. Высокие степени в сплайнах используются редко,

71

поскольку у них проявляются те же недостатки, что и у многочленов, основной из которых - осцилляция.

С помощью сплайновой интерполяции решают различ-ные типы задач. Рассмотрим основные из них.