§4. Интерполирование по двукратным узлам. Интерполяционные многочлены Эрмита

Допустим, в узлах x_i (i = 0,1 ,...,n) заданы не только зна-чения у(x_i)=у_i , но и первые производные у(x_i)= у _i. Требу-ется построить полином Н(x) минимально возможной степени, для которого Н( x_i) = у_i , Н (x_i ) = у _i (i = 0,1 ,...,n).

Данная задача называется интерполированием по двукратным узлам, поскольку в каждом из них дано два геометрических условия.

Общее число геометрических условий в задаче равно 2n+2. Искомый интерполяционный полином минимально возможного порядка должен иметь степень не выше 2n+1, так как число его неизвестных коэффициентов при каноническом задании (2.5) равно 2n+2.

Полином Н(x) имеет вид:

57

где 1 ; i = j ; 1 ; i = j ;

h_i(x_j) = H _i (x_j) =

0 ; j  i , 0  j  n ; 0 ; j  i , 0  j n ;

h_i(x_j) = 0 ; 0  j  n ; H_i (x_j) = 0 ; 0  j  n .

Рассмотрим функции Н_i (x). В узлах x_j ( j  i , 0  j  n ) у них двойные нули: H_i (x_j) = H_i(x_j) = 0. В узле x_i -одинарный нуль: H_i (x_i) = 0. Полином минимальной степени, удовлетворяющий этим условиям, имеет вид:

H_i (x_i) = С [(х)]²/(x-x_i) = C (x -x₀)²*( x - x₁)²* . . . *( x –

- x_i-1)²*(x-x_i)*(x - x_i+1)²* . . . * (x - x_n) ²,

где С – некоторая константа.

Величину С находим из условия H _i (x_j) = 1. Так как H_i(x) = С[2(х)(х)/(x-x_i) - (х)²/(x-x_i)²] , то из H _i (x_j) = С[(x_i)]² = 1 следует: С = 1/[(x_i)]² . Отсюда получаем:

H_i (x_i) = [(х) / (x_i)]²/(x-x_i) = Ф_i²(х)(x-x_i), (2.14)

где Ф_i(х) - функция Лагранжа.

Перейдём к построению функций h_i (x). В узлах x_j ( j  i , 0  j  n ) у них также двойные нули: h_i (x_j) = h_i(x_j) = 0. В узле x_i – следующие условия: h_i (x_i) = 1; h_i (x_i) =0. Для обеспечения условий в узлах x_j в h_i (x) вносится множитель вида ((х))²/(x-x_i)² . Для выполнения условий в узле x_i в h_i (x) дополнительно вводится множитель вида (с + d(x-x_i)), у которого с и d – некоторые неизвестные константы. Подставляя формулу в условие h_i (x_i) = 1, получим: с = 1/((x_i))² . Выражение для h_i (x) принимает вид: h_i (x) =((х))²/(x-x_i)² [1/ ((x_i))² + d(x-x_i)].

Производная функции по х :

h_i (x) = 2 [(х)/(x-x_i)]*[(х)/(x-x_i)]_x [1/ ((x_i))² + d(x-x_i)]+[(х)/(x-x_i)]²*d.

С учётом свойств полинома (х) условие h_i (x_i) =0 можно представить в виде:

58

Отсюда получим:

В итоге искомая функция может быть представлена в следующей форме:

Подставляя найденные выражения (2.14) и (2.15) в об-щую формулу (2.13), получим интерполяционную формулу Эрмита для двукратных узлов:

(2.16 а)

В векторном виде интерполяционную формулу Эрмита представляют в виде скалярного произведения :

Н (x) = (H(x) ,Y ); (2.16 б)

гдеH(x) = (h₀ (x), . . . , h_n (x), Н₀ (x) , . . . ,Н _n (x));

Y = ( y₀ , y₁ , . . . , y_n , y^₀ , y^₁, . . . , y^_n ).

Рассмотрим по аналогии с однократными узлами интер-полирование в двукратных при помощи нормированной переменной. Допустим, в граничных точках отрезка [x₀,x₁]

59

заданы по два геометрических условия: у(x₀) = у₀ , у(x₀) = у₀, у(x₁) = у₁, у (x₁) = у₁ . Вводя на отрезке [x₀,x₁] нор-мированную переменную t= (x – x₀) / ( x₁ - x₀ ) и обозначая h = x₁ - x₀ , представим явное решение для S(t) при помощи кубического интерполяционного многочлена Эрмита по формуле (2.16):

S(t)=у₀₁(t)+у₁₂(t)+h у₀₃ (t)+h у₁₄ (t), (2.17а)

где функции ₁ (t); ₂ (t); ₃ (t); ₄ (t) , называемые полиномами Эрмита, обладают следующими свойствами

₁ (0) = 1; ₁ (1) = 0; ₁ (0) = 0; ₁ (1) = 0 ;

₂ (0) = 0; ₂ (1) = 1; ₂ (0) = 0; ₂ (1) = 0 ;

₃ (0) = 0; ₃ (1) = 0; ₃ (0) = 1; ₃ (1) = 0 ;

₄ (0) = 0; ₄ (1) = 0; ₄ (0) = 0; ₄ (1) = 1 .

Их можно найти подстановкой в формулу Эрмита либо с применением общих методов, изложенных в § 2:

₁ (t) = 3(1-t)² –2(1-t)³ =1-3t²+2t³ = ((1,0 ,-3, 2),(1,t ,t²,t³)) = ((1,0 ,-3,2),T ³);

₂ (t) = 3t² –2t³ = ((0, 0 ,3 ,-2),T ³);

₃ (t) =(1-t)² – (1-t)³ = t - 2t²+ t³ = ( (0, 1 , -2 ,1),T ³);

₄ (t) = - t ² + t ³ = ( (0, 0 ,-1 ,1),T ³).

Спомощью введённых скалярных произведений вектор значений ₁(t) - ₄(t) представим как произведение:

Используя расширенный вектор значений Y ^*=( у₀ , у₁ , h у₀, h у₁), многочлен Эрмита можно представить в виде:

S(t)=(Y ^*, М_ЭТ ³). (2.17 б)

60

Кубический полином (2.17) обеспечивает в обоих узлах интерполяции не только требуемые значения функции, но и углы наклона касательных.

По аналогии с интерполированием по однократным уз-лам полином Эрмита может быть выражен через разделён-ные разности. Для этого необходимо наряду с обыч-ными разностями, в которых все аргументы отличны друг от друга, рассмотреть случай с повторяющимися аргу-ментами.

Обозначим верхним индексом повторяемость аргумента. Разность порядка 1 с повторяющимся аргументом x_i, x_i может быть интерпретирована следующим образом:

f(x¹_i , x²_i) =lim f(x_i, x _i) =f(x_i ) / (1!).

x _i  x _i

В общем случае

f(x¹_i , x²_i , . . . , x^k_i ) =f ^k-1(x_i) / (k-1)! .

В случае двукратных узлов необходимо в разделённых разностях повторять дважды каждое значение x_i (0  i  n ). В результате получим обобщение интерполяционного многочлена Ньютона для двукратных узлов:

H_n^N(x) = y_{0 +} (x- x₀ )f( x₀ , x₀ ) + (x- x₀ )² f( x₀ , x₀ , x₁ ) + (x- x₀)²(x- x₁ ) f( x₀ , x₀ , x₁, x₁ ) + . . . +(x- x₀ )²(x- x₁ )² * . . . * (x- x_n-1 )²(x- x_n ) f( x₀ , x₀ , x₁, x₁ , . . . , x_n-1 , x_n-1 , x_n ,x_n ). ( 2.18)

С помощью разделённых разностей можно в явном виде построить полином Эрмита для интерполирования по узлам с различающейся степенью кратности. Допустим, требуется интерполировать узлы x_i (0  i  n), обладающие, соответственно, кратностями k_i (k_i  1 ). Будем обозначать верхним индексом при аргументе номер его вхождения в выражение. В этом случае полином Эрмита будет иметь вид:

H_n^N(x) = y_{0 +} (x- x₀ )f( x¹₀ , x²₀ ) + . . . + (x- x₀ )^{k0 -1} f(x¹₀ , x²₀ , . . . , x₀ ^k0 ) + (x- x₀ )^k0 *f(x¹₀ , x²₀, . . . ,x₀^k0, x₁ )+. . .+ (x- x₀ )^k0(x-

61

x₁ )^k1* . . . * (x- x_n-1 )^k(n-1)(x- x_n )^kn-1 *f(x¹₀ , x²₀ , . . . , x₀^k0, . . . , x¹_n , x²_n , . . . , x_n^kn ) ( 2.19)

Пример. На множестве двукратных узлов x₀ = - 2 ; x₁ = 1 ; x₂=3 заданы значений функции у(x) и её первой произ-водной у(x ):

у(x₀)=у₀ =6; у(x₁)=у₁=2; у(x₂) = у₂ =3; у(x₀)=у₀ =-2; у(x₁)=у₁ =-1; у(x₂)= у₂ = 1.

Построить на этом множестве узлов :

1) полином Эрмита Н(x) минимально возможной степени,

2) обобщённый многочлен Ньютона.

Решение.

1. Вспомогательный полином (х) и функции Лагранжа

будут следующими : (х)= (x+2)(x-1)(x-3 );

По формулам (2.14),(2.15) строим функции Н_i (x) и h_i (x).

H₀ (x) =(х-1)²(х-3)²(x+2) / 15² ; H₁ (x) = (х+2)²(х-3)²(x-1) / 6² ;

H₂ (x) =(х+2)²(х-1)²(x-3) / (10)² ;

По формуле (2.16) многочлен Эрмита принимает вид:

62

Упрощая, получим:

2. Рассчитаем разделённые разности :

1-й порядок:

f(x¹₀, x²₀) = у₀ = - 2;

f(x²₀, x¹₁) = (у₁ - у₀)/( x₁ - x₀ )=(2-6) / (1-(-2)) = - 4/3;

f(x¹₁, x²₁) = у₁ = -1;

f(x²₁, x¹₂) = (у₂ - у₁)/( x₂ - x₁)=1 / 2;

f(x¹₂, x²₂) = у₂ = 1.

2-й порядок:

f(x¹₀, x²₀, x¹₁) = (-4 / 3 – (-2)) / 3 = 2 / 9 ;

f(x²₀, x¹₁, x²₁) = (-1 – (-4/3)) / 3 = 1 / 9;

f(x¹₁ , x²₁, x¹₂) = ( 1/2 – (-1)) / 2 = 3/4 ;

f(x²₁, x¹₂, x²₂) = (1 – 1 / 2) / 2 = 1 / 4 .

3-й порядок:

f(x¹₀, x²₀, x¹₁, x²₁) = (1 / 9 – 2 / 9) / 3 = - 1 / 27 ;

f(x²₀, x¹₁, x²₁, x¹₂) = (3 / 4 – 1 / 9) / 5 = 23 / 180 ;

f(x¹₁, x²₁, x¹₂, x²₂) = ( 1 / 4 – 3 / 4) / 2 = - 1 / 4 .

4-й порядок:

f(x¹₀, x²₀, x¹₁, x²₁, x¹₂) = (23 / 180 – (-1 /27)) / 5 = 89 / 540 ;

f(x²₀, x¹₁, x²₁, x¹₂, x²₂) = (- 1 / 4 – 23 / 180) / 5 = - 17 / 45 .

63

5-й порядок:

f(x¹₀,x²₀,x¹₁,x²₁,x¹₂ ,x²₂) = (-17/45 – 89/540)/5 = 293 / 2700 .

Обобщённый многочлен Ньютона по формуле (2.19):

H_n^N(x) = 6 - 2(x + 2 ) + 2(х+ 2 )² / 9 - (x+ 2 )²(x- 1 ) / 27 +

+ 89(x+2 )²(x- 1 )² / 540 +293(x+2 )²(x- 1 )² (x-3)/ 2700 .

Задачи.

1. Найти выражения для функций h_i (x) и Н_i (x) и построить полиномы Эрмита для следующих случаев интерполи-рования по двукратным узлам:

а) задача 1 из §1,

б) задача 1.г из §2,

в) n=2; х₀ = -2 ; х₁ = 0 ; х₂ =2 ;

у(х₀)=-8; у(х₀)=2 ; у(х₁)=1; у(х₁)=0; у(х₂) = -1 ; у (х₂) = - 2;

г) n=3; х₀ = 0 ; х₁ = 1 ; х₂ =2 ; х₃ =4 ;

у(х₀) = 10 ; у (х₀) = - 1; у(х₁) = 6 ; у (х₁) =0 ; у(х₂) = 1 ;

у (х₂) = 2; у(х₃) = 4 ; у (х₃) = 1.

2. Найти разделённые разности и построить обобщенные интерполяционные многочлена Ньютона для геометри-ческих условий из задач 1 а), 1 б), 1в), г).