§2. Интерполирование кривых с помощью алгебраических полиномов канонического вида

Алгебраической кривой (полиномом степени k) называ-ют выражение вида

P (t)=C₀+C₁t+C₂t²+…+C_k t^k, (2.5)

где t - параметр кривой. Выражение (2.5) называется каноническим видом полиномов. При его использовании (по схеме Горнера) затрачивается минимальное число операций в расчёте значений P (t).

В общем случае интерполирования постановку задачи можно сформулировать следующим образом: построить полином, у которого:

1)соответствующая кривая проходит через заданные точки P₀,P₁,…,P_n ;

2) в некоторых точках P_i полинома производные его до некоторой степени j должны принимать заданные значения:

P(t_i)=P_i,

. . .

P ^j(t_i)=P_i ^j ,

где t_i - величина параметра в рассматриваемой точке,

P_i¹(t_i), …, P_i ^j(t_i ) – значения соответствующих производных.

В явной форме (в виде готовой формулы, не требующей предварительного составления и решения уравнений) решение рассмотренной задачи дают интерполяционные полиномы Лагранжа (Ньютона) и Эрмита. Однако вследствие сложного вида этих полиномов вычисление значений по ним требует выполнения значительно большего числа операций по сравнению с расчётом по канонической формуле (2.5) (при этом результаты вычислений по обеим формулам совпадают в силу того, что искомое решение единственно ) . Поэтому вначале

46

рассмотрим решение задачи для канонического случая. При интерполировании пространственных кривых в параметрическом виде задача сводится к построению зависимостей x(t),y(t),z(t) по всем трем координатам, в явном – к построению функций y(x), z(x). На плоскости строятся, соответственно, х(t), y(t) или у(x).

Поскольку построение полиномов по каждой координате производится одинаково, то ограничимся рассмотрением интерполирования полинома Р(x) степени k в явном виде на некотором наборе узлов x₀, x₁,…, x_n . Обычно для интерполирования используется полином с минимально возможной степенью k. При расчете минимального k исходят из следующих соображений : число неизвестных коэффициентов С₀, C₁, …,C_k в полиноме равно (k+1). Число геометрических условий, которые должны быть выполнены, складывается из:

1. количества заданных точек P₀,P₁,…,P_n – их число равно (n+1);

2. общего числа производных , заданных в этих точках.

Решение задачи интерполирования всегда существует и является единственным, если k+1 = n+1+. При выполнении этого условия число неизвестных равно числу уравнений. Отсюда следует :

k=n+. (2.6)

После определения k решается задача об определении коэффициентов полинома. Для этого составляется система из k уравнений следующего вида. Каждое условие первого типа y(x_i) = y_i при подстановке x = x_i дает уравнение вида:

C₀+C₁x_i+C₂x_i²+…+C_kx_i^k=y_{i .}

47

Для раскрытия условия на первую производную y(x_i)=y_iвыполняем подстановкуx = x₁ в производную. Получаем уравнение:C₁+2C₂x_i +…+kC_kx_i^k-1=y_i.

Производные более высоких порядков раскрываются аналогично.

Итоговую систему уравнений можно представить в виде:

AC=Y, (2.7)

где C=(C_0,C₁,…,C_k) – искомый вектор коэффициентов полинома,

Y – вектор заданных точечных значений функции и ее производных,

A – матрица коэффициентов.

Искомый вектор неизвестных коэффициентов равен:

C=A^-1 *Y, (2.8)

где A^-1 –матрица, обратная к А .

Пример. Заданы: 1) значения полинома в трех узлах: y(x₀)=y₀; y(x₁)=y₁; y(x₂)=y₂ и 2) значение первой производной в узле x₀ : y(x₀)=y₀. Необходимо построить интерполирующий полином наименее возможной степени k.

Решение. 1.Определение степени полинома k. Число n=2, суммарное число заданных значений производных =1. Следовательно, по формуле (2.6) k=3 и полином имеет вид: P (x)=C₀+C₁x+C₂x²+C₃x³,

где (С₀, C₁, C₂, C₃) - постоянные коэффициенты.

2.Определение коэффициентов полинома. Из условий вида 1) подстановкой вместо х значений х₀, х₁, х₂ получаем уравнения

C₀+C₁x₀+C₂x₀²+C₃x₀³ = y₀ ;

C₀+C₁x₁+C₂x₁²+C₃x₁³ = y₁ ;

C₀+C₁x₂+C₂x₂²+C₃x₂³ = y₂ .

48

Из условия вида 2) подстановкой х = х₀ в P(x) = C₁ + 2C₂x + 3C₃x² получаем уравнение C₁ + 2C₂x₀ + 3C₃x₀² = y₀.

Объединяя полученные уравнения, получаем систему вида (2.7), где

; ; .

Решением системы является вектор C=A^-1 *Y.

Замечание. При специальном задании геометрических условий возможны случаи, когда реальная степень полинома меньше значения, задаваемого формулой (2.6). Например, если в приведенном выше примере задать условия вида:

1. y(1)=0; y(2)=1; y(3)=2; 2) y(1)=1; то при этом

;;

; P(x) = x-1; k = 1 < 3.

Таким образом, в данном частном случае реальная сте-пень интерполирующего полинома равна 1. Гео-метрический смысл примера понятен из Рис.2.1: точки Р₀, Р₁, Р₂ лежат на прямой y=(x-1), угол наклона произ-водной y(x₀) также равен углу наклона этой прямой, поэто-му в данном случае k=1.

49

Рис.2.1

Если рассматривать частный случай

1. y(1)=1; y(2)=1; y(3)=1; 2) y(1)=0 ;

то векторыY и С будут следующими:

;

Интерполирующий полином примет вид: P(x) = 1. В данном случае реальное значение k=0, т.к. все точки лежат на прямой y=1 и угол наклона производной равен 0 (Рис. 2.2).

Рис. 2.2

50

В обоих приведенных примерах имеет место дубли-рование геометрических условий, поскольку некоторые из них оказываются излишними, описывающими объект, уже полностью определённый предыдущими условиями. Рассмотренные примеры показывают, что окончательное значение степени полинома k может быть уточнено только после расчета его коэффициентов.

Задачи.

1. Найти степень полинома k и матрицу А (по возможности в численном виде) для определения коэффициентов полинома С =(C₀, C₁, …,C_k ) для следующих наборов геометрических условий:

а) задача 1 из §1,

б) задача 2 из §1,

в) n=3; х₀ = 0 ; х₁ = 1 ; х₂ =2 ; х₃ =3;

у(х₀) = 0 ; у (х₁)= 2 ; у(х₂) =5 ; у (х₃)=6;

г) n=2; х₀ = -1 ; х₁ = 0 ; х₂ =1 ;

у(х₀) = -2 ; у(х₀) = 2; у(х₁)= у(х₁)=1; у(х₂) = 1,5; у(х₂) =0;

д) n=2; х₀ = 1 ; х₁ =3 ; х₂ =4 ;

у(х₀)=у(х₀)=1; у(х₁)=2; у(х₁)=у(х₁)=0; у(х₂)=1; у(х₂)=- 2.