§1. Аппроксимация по методу наименьших квадратов

Допустим, кривая y=f(x) задана на некотором отрезке [a,b]. Требуется линейно аппроксимировать ее в заданном функциональном базисе {₀(x), ₁(x),…,_n(x)} суммой заданной длины n:

_n

p_n(x) =  a_i _i(x) (5.1)

ⁱ⁼⁰

Критерием оптимальности в задаче аппроксимации явля-ется минимум суммы квадратов разностей (p_n(x_j) – f(x_j)) в заданных узловых точках a  x₁  x₂  … x_m  b:

(

При равномерном распределении узлов x_j в отрезке [ a, b ] и m   в условии (5.2 а) рассматривают величину

97

(a_{0, … ,} a_n)

’ = ^___________ ,

^m

которая достигает минимума при тех же значениях коэф-фициентов (a₀, a₁,…,a_n), что и интеграл

Соответственно, критерий наилучшего приближения в этом случае будет иметь вид:

Необходимым условием экстремума функции нескольких переменных является одновременное равенство нулю всех ее частных производных. Поэтому в обоих случаях коэф-фициенты a₀, a₁,…, a_n определяются из следующей системы, содержащей (n+1) уравнение:

Рассмотрим решение системы (5.3). Для дискретного критерия (5.2 а) частные производные имеют вид:

Введя матрицу А(mxn) с элементами a_ks и векторb (m) с элементами b_k такими, что

98

условие (5.3) можно свести к системе линейных уравнений

А a = b, ( 5.4)

где a = ( a₀, a₁,…, a_n) – неизвестный вектор коэффициентов. Решение системы:

a = A^-1b. ( 5.5)

Для непрерывного критерия (5.2 б) ход решения аналоги-чен с той разницей, что в матрице А и вектореb суммы заменяются соответствующими интегралами:

Наиболее распространена аппроксимация алгебраически-ми многочленами вида

В этом случае при дискретном критерии аппроксимации выражения для компонент матрицы Aи вектораbнаходят по формулам:

При непрерывном критерии

Аппроксимация по методу наименьших квадратов проста в реализации, поэтому её широко применяют при обработке

99

экспериментальных данных и в других случаях для построения кривых, усредняющих некоторый набор точек.

Поскольку степень n аппроксимирующей линейной сум-мы (5.1) самим методом никак не регламентируется, то её обычно задают, исходя из особенностей решаемой задачи. Также оптимальную величину степени n можно опреде-лить, решив задачу для нескольких её значений и проанали-зировав полученные решения.

Метод наименьших квадратов представляет интерес и при моделировании поверхностей. Рассмотрим его применение для случая степенных базовых функций, когда аппроксимация производится при помощи квадратичной формы вида

Допустим, аппроксимация производится на дискретной двухмерной прямоугольной сетке (x_j , у_s) (j =0,..., m; s = 0,..., q). В узлах сетки заданы значения третьей координатыz(x_j , у_s)=z_js . Квадратичная форма имеет(n+1)(p+1)неиз-вестных коэффициентовa_ik . Критерий её оптимальности имеет вид:

Cистема уравнений для определения коэффициентов a_ik аналогична (5.3):

100

После раскрытия выражений для производных уравнения системы получают следующий вид:

Данная система линейна относительно неизвестных коэффициентов a_ik . К обычному виду она приводится путём введения вместо пар индексов i,k и r,t двух линейных - I и R , которые можно взаимно-однозначно выразить через исходные пары следующим образом: I(i,k) = i + k*n; R(r,t) = r + t*n. При этом система примет вид:

Са = b, (5.8)

где С – матрица, аа и b – векторы:

0  I,R  np. Решается (5.8) стандартными методами.

В методе наименьших квадратов в качестве аппроксими-рующих могут применяться любые функции. Так, при об-работке опытных данных по долговечности точки обычно группируются вокруг положительных ветвей гипербол, ко-торые и используют в качестве аппроксимирующих кривых.