2.2. Двійкові, вісімкові та шістнадцяткові числа

У зв'язку з тим, що елементи з двома станами використовуються як базові елементи комп'ютерної техніки, всі числа в комп'ютерах представляються у двійковій системі чис­лення. Розглянемо особливості цієї системи.

Двійкова система числення будується за тим самим правилом, що і десяткова, але в ній використовуються лише дві цифри - 0 та 1. Число у двійковій системі числення за­писується у вигляді:

а значення числа обчислюється за таким виразом:

де:

• N - кількість двійкових цифр (розрядів) у цілій частині числа,

• М - кількість двійкових розрядів у дробовій частині числа, * В. - значення і-го розряду цілої частини числа,

• В'. - значення і-го розряду дробової частини числа,

• В - значення числа. Приклади двійкових чисел:

Часто у розробника, а то і в користувача комп'ютера, виникає потреба в перевірці ко-ректності виконання операцій над двійковими числами комп'ютером або його вузлом.

58

А оскільки в комп'ютерах опрацьовуються багаторозрядні двійкові числа, і оперувати з такими довгими послідовностями нулів та одиниць (наприклад, рядок із 32 цифр) не­зручно, то набули поширення вісімкова та шістнадцяткова системи числення. У вісімко-вій системі числення використовують вісім цифр від 0 до 7, а у шістнадцятковій системі числення крім десяткових цифр від 0 до 9 використовують 6 літер латинського алфавіту (А, В, С, D,E,F)для позначення цифр від 10 до 15. Значення числа обчислюється за та­ким виразом:

де:

" N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

• М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

• Н_і - значення і-го розряду (розряди цілої частини),

• Н^/ _і - значення і-го розряду (розряди дробової частини),

• Н - значення числа.

Особливістю цих систем є зручний перехід до двійкової системи та навпаки. Три двійкових розряди переводяться в один вісімковий, а чотири двійкових розряди - в один шістнадцятковий, як показано в табл. 2.1.

Наприклад, двійкове число 01101101 у шістнадцятковій системі записуватиметься як 6D.Для переведення чисел із шістнадцяткової та вісімкової систем числення у двійкову необхідно кожну цифру числа, яке переводиться, замінити відповідно чотири- або три-розрядним двійковим еквівалентом - тетрадою або тріадою, а отримані двійкові цифри розташувати на місцях шістнадцяткових або вісімкових цифр.

У разі необхідності переведення чисел із десяткової системи числення у вісімкову, шістнадцяткову та двійкову переведення робиться лише в одну систему (вісімкову або шістнадцяткову). Подальше переведення виконується через двійкову систему, викорис­товуючи тріади та тетради.

Приклад 1. Переведемо число 12345,67 з десяткової системи числення у двійкову, ві­сімкову, шістнадцяткову.

1. Переведення цілої частини числа у вісімкову систему:

12345 : 8 = 1543, залишок 1;

1543 : 8 = 192, залишок 7;

192 : 8 = 24, залишок 0;

24 : 8 = 3, залишок 0;

3:8 = 0, залишок 3.

59

Результат: 30071.

2. Переведення дробової частини числа у вісімкову систему: 0,67x8 = 5,36;

0,36x8 = 2,88; 0,88 х 8 = 7,04; 0,04x8 = 0,32. Наближений результат: 0,5270... .

3. Отримання повного результату шляхом об'єднання результатів, отриманих в п. 1 та п. 2. Результат: 30071,5270... .

4. Переведення результату у двійкову та шістнадцяткову системи числення (табл. 2.2). Поділ двійкового числа на тріади та тетради починається від коми ліворуч і праворуч. Результат: 12345,6710=30071,52708=11000000111001,1010101112=3039,АВ816.

Таблиця 2.2

2.3. Переведення чисел із системи числення з основою к у десяткову систему

Один із методів переведення чисел із системи числення з основою kу десяткову сис­тему числення ґрунтується на використанні кількісного еквівалента числа. Для пере­ведення необхідно записати число у його кількісному еквіваленті, замінивши цифри системи числення з основою kта основу kїхніми десятковими еквівалентами, а потім обчислити вираз за правилами десяткової арифметики.

Приклад 1. Переведемо двійкове число 1011,1001 у десяткову систему числення.

Таким чином, 1011,1001,= 11,5625...

Приклад2. Переведемо вісімкове число 105,71 у десяткову систему числення.

Результат: 105,71₈ = 69,890625_і0.

Приклад 3. Переведемо шістнадцяткове число 2KD,0Aдо десяткової системи числення.

Результат: 2ED,0A,₆= 849,0390625,₍..

2.4. Переведення чисел із десяткової системи у систему числення з основою k

Розглянемо переведення чисел із десяткової системи числення у іншу однорідну по­зиційну систему числення з основою к, коли дії виконуються в десятковій системі. У разі цього переведення окремо виконується переведення цілої частини числа й окремо - дробової; результати потім додаються.

60

Цілу частину десяткового числа X₁₀ділять на основу системи числення kза правила­ми десяткової арифметики до отримання залишку, який буде десятковим еквівалентом цифри молодшого розряду результату. Якщо частка від ділення не дорівнює 0, то вона стає діленим і процес ділення на kпродовжується. Як тільки чергова частка стане рівною 0, процес ділення на kприпиняється. Залишок, який отримали у результаті першого ділення на к, є цифрою розряду результату з вагою k⁰, залишок у результаті другого ділення - циф­рою з вагою kⁱ і т. д. Останній залишок є цифрою старшого розряду результату.

Дробова частина десяткового числа X₁₀множиться на kза правилами десяткової арифметики. В отриманому добутку від'єднується ціла частина, яка може дорівнювати 0, а дробова частина знову множиться на kіз наступним від'єднанням цілої частини. Ця операція повторюється або до отримання нульової дробової частини добутку, або до отримання необхідної кількості розрядів числа X_k. Цифра старшого розряду результату переведення (тобто, перша після коми) збігається з першою від'єднаною цілою части­ною, цифра другого розряду результату переведення - із другою від'єднаною цілою час­тиною і т.д. При цьому від'єднані цілі частини необхідно представити в системі числення з основою к.

Приклад. Переведемо десяткове число 11,5625 у двійкову систему числення з точніс­тю до п'яти розрядів після коми.

Переведення цілої частини:

11:2 = 5, залишок 1 (молодший розряд результату),

5:2 = 2, залишок 1,

2:2= 1, залишок 0,

1:2 = 0, залишок 1 (старший розряд результату).

Результат: 11₁₀= 1011₂.

Процедура переведення дробової частини наведена у табл. 2.3.

Результат: 0.5625₁₀ =0,10010₂.

Повний результат: 11,5625₁₀ = 1011 + 0,10010 = 1011,10010₂.