2.7, Позиційні системи числення

Система числення - це спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту сим­волів, які називають цифрами. Є різні системи числення. Від їх особливостей залежить наочність відображення чисел та складність виконання операцій над числами. Прикла­дом системи числення з дуже складним способом запису чисел і громіздкими правилами виконання арифметичних операцій є римська система числення.

Якщо в послідовності цифр, які зображають число, має значення позиція цифри, то систему числення називають позиційною. Такі системи числення характеризуються нао­чністю відображення чисел та простим виконанням арифметичних операцій. У позиційних системах числення при безпосередньому представленні цифр число записується у вигляді:

Кома у цій послідовності відділяє цілу частину числа від дробової. Позиції цифр, які рахуються від коми, називають розрядами. Кількісний еквівалент, що виражається цим записом, визначається так:

де:

■ k- основа системи числення, тобто кількість різних цифр, які використовуються в позиційній системі числення,

57

• s+1- розрядність цілої частини числа,

• m- розрядність дробової частини числа,

• х. - цифри і-го розряду запису числа (х_і = 0, 1,..., к-1),

• kⁱ - вага і-го розряду.

У цьому випадку вага і-го розряду в kразів більша за вагу (і-1)-го розряду. Такі сис­теми числення називають системами з природним порядком ваги. До них належать двій­кова, вісімкова, десяткова і шістнадцяткова системи числення.

У звичній для нас десятковій системі числення довільне число подається цифрами від 0 до 9; при цьому має значення позиція цифри. Число в десятковій системі запису­ється у вигляді:

" N - кількість цифр (розрядів) у цілій частині числа (зліва від коми),

" М - кількість розрядів у дробовій частині числа (справа від коми),

" D_i- значення і-го розряду (розряди цілої частини),

" D^> _i- значення і-го розряду (розряди дробової частини),

" D- значення числа.

Звичайно, що дробової або цілої частини числа може і не бути (Nабо М = 0).