§ 4. Составные линейные преобразования

Любое линейное преобразование можно представить в ви-де последовательного выполнения (композиции) элемен-тарных линейных преобразований. Допустим, преобра-зование Т состоит в последовательном выполнении элемен-тарных преобразований Т₁, Т₂, Т₃. В этом случае итоговая матрица преобразования Т равна произведению:

М_Т = М_Т3∙ М_Т2∙ М_Т1 .

В общем случае при Т = Т₁∙Т₂∙…∙Т_n,

М_Т = М_Тn∙ М_Т(n-1)∙…∙ М_Т1 .

Для того,чтобы найти матрицу преобразования, обратного к составному Т = Т₁∙Т₂∙…∙Т_n (такую, что М_Т-1∙М_Т = Е), необходимо М_Т последовательно умножить слева на М ^–1_Тn∙ М ^–1_Т(n-1)∙…∙М ^-1_Т1. При этом получим:

М ^-1_Т = М ^-1_Т1∙М ^-1_Т2∙…∙М ^-1_Тn .

Пример. Необходимо построить плоское линейное преобразование Т, осуществляющее поворот точек вокруг центральной точки Р(x₀ , y₀ ) на заданный угол φ (Рис.6.5).

126

Рис.6.5

Решение.

Данное преобразование можно представить в виде компози-ции элементарных следующим образом:

1)сдвиг всех точек плоскости на вектор (-x₀,-y₀) (при этом Р₀ переместится в начало координат);

2) поворот на угол φ вокруг оси z;

3) сдвиг на вектор (x₀, y₀), при которомР₀ займет свое прежнее положение.

Найдем матрицу Т:

М_Т = М_сд(x₀, y₀) ∙М_пz(φ)∙ М_сд (-x₀, -y₀) =

127

Данный пример иллюстрирует некоммутативность умно-жения матриц. При φ≠0

М_Т = М_сд (-x₀,- y₀) М_пz(φ)∙М_сд(x₀, y₀) ≠ М_сд(-x₀ ,- y₀)∙М_сд(x₀, y₀)∙М_пz(φ) = М_пz(φ) .

Задачи.

Выразить через матрицы элементарных линейных преобразований прямые и обратные матрицы следующих составных преобразований:

1) поворот на угол 60° вокруг оси y точкиР₀^*, симмет-ричной относительно плоскости 0yz исходнойР₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ );

2) увеличение в 0,5 раза всех координат точкиР₀ (x₀ ,y₀ ,z₀ ); предварительно повернутой вокруг оси x на угол 30° и вокруг z - на 45°;

3) сдвиг координат точкиР₀ (x₀ , y₀ , z₀ ), симметрично отраженной относительно начала координат 0, при котором точка (1, 2, 3) переходит в точку (3, 2, 1).