Регуляризация скелета по Тихонову

В фундаментальном смысле [80] устойчивость скелета эквивалентна непрерывности оператора скелетизации, который по фигуре строит ее скелет. Скелетный оператор должен получать на вход одну фигуру и строить устойчивый вид скелета, который при незначительных изменениях фигуры меняется незначительно.

Скелет, полученный с помощью оператора устойчив на паре метрических пространствс расстояниямии, если для всякогосуществует такое, что для любых двух фигуриз неравенстваследует неравенство, где,.

Оператор построения непрерывного скелета неустойчив на паре метрических пространств, представляющих собой соответственно пространство фигур и скелетных графов с расстояниями:– расстояние Хаусдорфа,– топологическое расстояние (например, разность числа ребер скелетных графов).

Рассмотрим пример простейшего устойчивого оператора скелетизации. Назовем оператором выделения линейного скелета такой оператор, который по заданной фигуреF строит скелетный граф, являющегося подграфом и представляющий собой непрерывную цепочку ребер максимальной длины:(рис.6.1.42в). Оператор выделения линейного скелета устойчив на паре метрических пространствс расстояниямии.

К сожалению, оператор выделения линейного скелета не несет достаточной информации о форме для для сравнения фигур, хотя и может быть использован как некий численный признак фигуры. Исходный операторнеустойчив, что делает его для задач сравнения формы также непригодным. Значит, необходимо найти какой-то промежуточный скелетный оператор (рис.6.1.42б) между неустойчивым, содержащим в себе «лишнюю» информацию(рис.6.1.42а) и устойчивым, но содержащим в себе мало информации (рис.6.1.42в). Для этого используется регуляризация по Тихонову [74].

@Рис. 6.1.42: Регуляризация скелета: а – непрерывный скелет; б – промежуточный скелет; в – устойчивое решение.

Как известно, с каждой точкой скелета можно связать радиус максимального пустого круга, центром которого данная точка является, то есть задать гранично-скелетное представление фигуры. По такому представлению можно однозначно восстанавливать исходную фигуру. Это дает возможность определить обратный оператор скелетизации: .

Функционал

называется функционалом Тихонова для задачи , где– планарный скелетный граф,– результат действия устойчивого однореберного скелетного оператора,– топологическая мера сходства скелетов,– расстояние Хаусдорфа.

Таким образом, задач регуляризации скелета сожет быть математически строго описана как задача минимизации указанного тихоновского функционала

При малых значениях параметра решение этой задачи близко к исходной некорректной задаче. При большихрешение устойчивое, но находится дальше от исходной задачи. Приближенный скелет, найденный как минимум функции, будет зависеть от параметра.

Общее решение этой задачи до сих пор неизвестно. Однако в [73] была предложена (но не доказана) достаточно правдоподобная гипотеза о полноте системы функций ,,, устраняющих нерегулярности описанных выше трёх типов. Она заключается в том, что для любой фигурыи заданногонайдутся такие параметры,,, что решениезадачи минимизации тихоновского функционала может быть найдено как комбинация функций, устраняющих нерегулярности трех типов с точностями,,соответственно:

Для фиксированной пары фигур можно упростить фундаментальную постановку регуляризации скелета в терминах «подгонки скелетов».

Для заданных двух фигур инайти в некотором смысле наилучшие скелеты фигури, близкие в некоторой метрике к непрерывным скелетам фигури. То есть построитьрегуляризирущий оператор на основе двух фиксированных фигур . Решение похожей задачи без учета нерегулярности с цикламиприведено в работе [341], где поставлена и решена задача поиска аппроксимирующих фигур с изоморфными скелетами. Например, наилучшими скелетами можно считать изоморфные скелеты некоторых двух фигур, близких по расстоянию Хаусдорфа к исходным и:.