*Селективные морфологии

Классическое описание операторов математической морфологии (ММ) дано выше. В данном разделе для морфологических операторов будут приняты следующие буквенно-функциональные обозначения:

Сжатие (Erosion):E(Im,B(r)) илиE(Im,B),E(Im,r),E(Im);

Расширение (Dilation): D(Im,B(r)) или D(Im,B), D(Im,r), D(Im);

Открытие (Opening): O(Im,B(r)) или O(Im,B), O(Im,r), O(Im);

Закрытие (Closing): C(Im,B(r)) или C(Im,B), C(Im,r), C(Im),

где Im – исходное бинарное изображение, B(r) – бинарный структурирующий элемент размера r. Везде, где не указывается структурирующий элемент, подразумевается, что выражения верны для любого элемента.

Перечислим основные свойства операторов бинарной ММ, которые можно сформулировать безотносительно к структурирующим элементам:

1. (Im  Im1)  E(Im)  E(Im1), D(Im)  D(Im1),

O(Im)  O(Im1), C(Im)  C(Im1);

2. D(Im)  C(Im)  Im  O(Im)  E(Im);

3. E(Im) = [D(Im^c)]^c, D(Im) = [E(Im^c)]^c, O(Im) = [C(Im^c)]^c,

4. C(Im) = [O(Im^c)]^c; (6.1.6)

5. O(O(Im)) =O(Im), С(С(Im)) = С(Im);

6. E(Im)=  O(Im)=.

где []^c- суперпозиция теоретико-множественного дополнения и центральной симметрии (поворота на 180). Кроме того, обычно предполагаетсяинвариантность морфологических операторов относительно сдвига в плоскости изображения:

E(Im^T) = [E(Im)]^T, D(Im^T) = [D(Im)]^T, (6.1.7)

O(Im^T) = [O(Im)]^T, C(Im^T) = [C(Im)]^T.

где []^T– операция сдвига (переноса) изображения на векторT=(x_t,y_t).

Именно перечисленные свойства операторов ММ делают морфологическую обработку изображений столь привлекательной. При этом помимо простейших морфологических операторов Серра существуют и другие системы операторов, удовлетворяющие описанным свойствам, в том числе – построенные на основе других, неморфологических операторов. Формализуем задачу их построения при помощи следующих определений.

“Бинарной монотонной морфологией” назовем систему из четырех операторов, для которых выполняются условия (6.1.6) и (6.1.7). Операторы E, D называются операторами монотонного сжатия и расширения, а операторы O,C-монотонного открытия и закрытия. Оператор пересечения с исходным изображением называется «оператором монотонизации по уменьшению». Пусть заданы оператор монотонного сжатияEи соответствующий оператор монотонного открытияO. Операторомвосстановления после сжатияназывается операторER, для которого выполняетсяO(Im)=ER(E(Im)).

Из свойства (6.1.6b) следует, что оператор восстановления после сжатия является монотонно увеличивающим (неуменьшающим) оператором. Из того же (6.1.6b) следует, что не всякий неуменьшающий оператор может служить оператором восстановления для данного оператора сжатия. ПосколькуImO(Im)E(Im), значитER(E) должен быть ограничен и снизу, и сверху. Значит, операторERможно получить из любого неуменьшающего оператора, применяя операцию монотонизации относительно исходного изображения.

Таким образом, может быть предложена следующая методика построения частной монотонной морфологии:

1. На основе первого заданного оператора Xпостроить монотонный оператор сжатияE_X(Im)=X(Im)ÇIm.

2. На основе второго заданного оператора Yпостроить монотонный оператор открытияO_XY(Im)=Y(E_X(Im))ÇIm.

3. Используя отношения (6.1.6c,d) построить соответствующие операторы расширенияD_Xи закрытияC_XY=E_Y(D_X).

Построенная таким образом монотонная морфология называется морфологией на базе операторов X и Y. Пара операторов (X,Y) при этом называетсябазой морфологии, а каждый из этих операторов в отдельности – базовым оператором. К сожалению, данная схема гарантирует лишь монотонность построенных операторов, но не гарантирует, что построенные таким образом операторыE_X(Im) и O_XY(Im) сохраняют включение, а O_XY(Im), кроме того, является проектором (а значит, и морфологическим фильтром в смысле Серра). В каждом конкретном случае эти свойства нужно дополнительно доказывать.

Определим оператор открытия, обладающий следующим характеристическим селективным свойством:

, если E(Object)=; (6.1.8a)

SO(Object) = Object, если E(Object). (6.1.8b)



где Object– любая связная область на изображении,E(Object) – оператор монотонного сжатия. Смысл этого выражения заключается в том, что оператор SO либо целиком удаляет объект, либо сохраняет его неизменным.

Оператор SO(Im) (6.1.8) называется операторомбинарного селективного открытия (С-открытия). Соответствующий операторER:SO(Im)=ER(E(Im)) называется операторомпредельного монотонного восстановленияизображения (extreme monotonic image restoration,EMIR).

Оператор селективного открытия сохраняет включение и является алгебраическим проектором, значит, и вся селективная морфология в целом является морфологической системой операторов. Оператор EMIRможет быть представлен как итеративное применение дилатации 3x3 и монотонизации относительно исходного изображения. Принципиальное отличие оператораEMIR(Im’,Im) от оператораD(Im’,B) в роли оператора восстановления после сжатия заключается в том, что операторD«не знает» об исходном изображении, а операторEMIR«не знает» о структурирующем элементе.

Монотонная морфология, построенная на базе пары операторов (E,EMIR) называетсяселективной морфологией на базе E. Если в качествеXиспользовать оператор морфологического сжатия СерраE(Im,B), получимструктурную селективную морфологию (ССМ). При этом ССМ, в отличие от ММ (рис. 6.1.43.), сохраняет форму объектов (рис. 6.1.44.).

@Рис. 6.1.43. Пример морфологического открытия бинарного изображения: (а) – исходное изображение; (б) – результат сжатия; (в) – результат открытия;(г) – результат «нормализации фона» оператором открытия.

@Рис. 6.1.44. Пример работы оператора селективного открытия. (а) – исходное изображение; (б) – результат сжатия; (в) – результат селективного открытия (С-открытия); (г) – результат «нормализации фона» оператором селективного открытия.

Однако селективная морфология может быть построена и на базе принципиально иных операторов. В качестве примера рассмотрим контурную параметрическую селективную морфологию. Пусть дано контурное бинарное изображение, состоящее из связных областей толщиной в 1 пиксел. Тогда концевой точкойназывается пиксел объекта, имеющий не более одного соседа, аоператором удаления концевых точекназывается операторDeleteEndPoints(Im), удаляющий все концевые точки наIm.Оператором удаления концевых отрезков длины nназывается операторDeleteEndSegments(n), выполняющийnповторенийDeleteEndPoints(Im).Контурной параметрической селективной морфологией (КПСМ)называется морфология на базе (E=DeleteEndSegments(n),EMIR). Оператор КПСМ-открытия с параметромNудаляет все связные линии, длинна которых не превышает 2N. Рис. 6.1.45. иллюстрирует свойства КПСМ.

@Рис. 6.1.45. Пример работы операторов КПСМ. (а) – исходное изображение; (б) – результат оператора DeleteEndSegments(N);(в) – результатN-КПСМ-открытия; (г) – результат «нормализации фона» операторомN-КПСМ-открытия.

Рассмотрим теперь полутоновые селективные морфологии.

Среди известных способов обобщения бинарных морфологических операторов на полутоновой случай простейшим является т.н. формальная подстановка, заменяющая бинарные понятия и операции, на полутоновые, им соответствующие. Пусть полутоновое изображение рассматривается как двумерная матрица пикселей, принимающих значение на [0..MaxI]. Тогда:

• теоретико-множественные отношения изаменяются наи;

• операции изаменяются на попиксельныеMINиMAX;

• пустому множеству соответствует «минимальное» изображениеO0;

• операция дополнения соответствует вычитанию из «максимального» изображения IMaxI.

Эти подстановки позволяют обобщить введенные выше определения понятий монотонной морфологии на полутоновой случай. В частности, методика построения монотонной морфологии приобретает следующий вид:

1. На основе первого заданного оператора Xпостроить монотонный оператор полутонового сжатияE_X(Im)=MIN(X(Im),Im).

2. На основе второго заданного оператора Yпостроить монотонный оператор полутонового открытияO_XY(Im)=MIN(Y(E_X(Im)),Im).

3. Используя отношения (6.1.6c,d) построить соответствующие операторы расширенияD_Xи закрытияC_XY=E_Y(D_X).

Однако в случае оператора EMIRвозникают проблемы, поскольку данный способ обобщения не предлагает полутонового аналога понятия «связности», а следовательно и понятия «объекта» (связной области). Здесь необходимо использовать иной известный подход к обобщению бинарной морфологии, рассматривающий полутоновое изображение как упорядоченную по убыванию последовательность бинарных изображений, называемых «срезовыми» или «уровневыми».

Для полутонового изображения Imсрезом по уровню kназывается бинарное изображениеIm^k, такое, что

{Im^k(x,y)=1, еслиIm(x,y)k,Im^k(x,y)=0 - в противном случае}.

Полутоновой оператор GXназываетсянепосредственным срезовым обобщениембинарного оператораX, если

k[0..MaxI]: (A=GX(A))  (A^k=X(A^k)).

Срезовое обобщение может быть построено для любого оператора, сохраняющего монотонность. Оператор EMIRсохраняет монотонность, следовательно, для него может быть построено непосредственное срезовое обобщение –полутоновой оператор предельного монотонного восстановления изображения после сжатия (GEMIR). Это справедливо и дляполутонового селективного открытия (GS-opening). Примеры действия соответствующих операторов полутоновой селективной морфологии показаны на рис. 6.1.46. и 6.1.47.

@Рис. 6.1.46. Пример работы операторов полутоновой селективной морфологии. (а) – исходное изображение; (б) – сжатие; (в) – селективное открытие; (г) – «нормализации фона» оператором селективного открытия; (д) – расширение; (е) – селективное закрытие; (ж) – «нормализации фона» оператором селективного закрытия.

@Рис. 6.1.47. Пример работы операторов полутоновой селективной морфологии. (а) – исходное `изображение; (б) – сжатие; (в) – селективное открытие; (г) – «нормализации фона» оператором селективного открытия; (д) – расширение; (е) – селективное закрытие; (ж) – «нормализации фона» оператором селективного закрытия.

Ряд интересных идей и результатов в области математической морфологии можно также найти в работах [184], [256], [342]-[346]