Операторы вычисления производных

Задачу поиска контурных точек действительно удобно решать в терминах производных. Однако при этом необходимо иметь в виду следующие два существенных замечания. Во-первых, говоря о взятии производных двумерной функции, мы говорим о целой совокупности разнообразных операторов. Под первой производной может пониматься как вектор-градиент, характеризуемый амплитудой и направлением, так и различные производные по направлению, определяемые только одним значением. Под второй производной также могут подразумеваться различные двумерные дифференциальные операторы. Во-вторых, задача вычисления производных на дискретном зашумленном изображении является, вообще говоря, некорректной (по Адамару). Как показано в работах школы академика Тихонова [42], эту задачу можно сделать корректной при помощи регуляризации, то есть путем наложения на функцию f(x,y) и ее производные дополнительных условий. В практическом плане это означает, что прежде, чем взять производную, изображение необходимо отфильтровать (сгладить) тем или иным способом.

Наиболее простым методом выделения края, не основанным на дифференцировании, является метод «сенсорных пар». Суть этого метода обнаружения «ступенчатого» края состоит в непосредственной оценке величины перепада яркости для кусочно-постоянной модели изображения. Для этого в каждой точке изображения рассматриваются пары прилегающих «сенсорных полей» прямоугольной формы, граница между которыми проходит через исследуемый пиксель. Оценивается средние значения яркости для каждого сенсорного поля отдельно, и модуль разности между ними характеризует интенсивность перепада яркости в данной точке в направлении, перпендикулярном границе сенсорных полей. На области постоянной яркости будет зафиксирован нулевой перепад, а в точках контура – максимальный (если ориентация сенсорной пары соответствует ориентации контура в этих точках). Хотя для теоретического обоснования метода нет необходимости в предположении о дифференцируемости функции яркости, легко заметить, что вычисляемое значение, в некотором смысле, является аналогом производной по направлению. Поэтому оператор «сенсорная пара», вычисляющий в каждой точке перепад яркости для конкретной ориентации сенсорных полей, не является инвариантным к повороту. Поэтому на практике всегда используется набор из нескольких (как правило, шести) различным образом ориентированных сенсорных пар. После обработки изображения полным набором сенсорных пар, каждая точка характеризуется ориентацией сенсорной пары, для которой было вычислено максимальное значение перепада яркости, и величиной этого максимального перепада. Таким образом, применение набора сенсорных пар дает результат, аналогичный градиенту (в форме «угол–амплитуда»), причем ориентация определяется достаточно грубо, выбором одного из нескольких фиксированных направлений.

Из методов обнаружения края при помощи различных дифференциальных операторов на сегодняшний день наиболее широко используются следующие операторы: Робертса (Roberts), Собела (Sobel), Марра (Marr) и Кани (Canny).