Морфологические операции на полутоновых изображениях

Естественный интерес представляет расширение основных операций и результатов морфологии на случай, когда изображение рассматривается как функция f: F®E, где FÌE^N–1, а f задает интенсивность изображения на F (для случая двумерных изображений FÌE²). Для обобщения операций морфологии на этот случай, обычно вводят следующие понятия [337].

Теньюf называется множество U(f)ÌF´E, определяемое как

U(f) = {(x,y)ÎF´E|y£f(x)}.

Поверхностьюмножества AÍF´E называется множество T(A): F®E, определяемое в каждой точке как

T[A](x) = max{y|(x,y)ÎA}.

Связь между этими понятиями очевидна:

T[U(f)] = f.

Геометрическое представление тенифункции и поверхности представлено на рис. 6.1.14.

Теперь для интенсивного изображения легко определить понятия основных морфологических операций.

Пусть F,KÍE^N–1, f: F®E, k: K®E. Тогда

– дилатациейf по k называется:

fk = T[U(f)_bU(k)]

– эрозиейf по k называется

fk = T[U(f)_bU(k)]

где _bи_bесть обычные бинарные операции над U(f),U(k)ÍE^N. Другой способ вычисления эрозии и дилатации задается выражениями:

fk(x) = max{f(x–z)+k(z)}, A_zÎK и (x–z)ÎF

fk(x) = min{f(x+z)–k(z)}, A_zÎK и (x+z)ÎF.

Геометрическое представление дилатациииэрозиифункции и поверхности проиллюстрировано на рис. 6.1.15, 6.1.16.

@Рис. 6.1.14. «Тень» функции и поверхность «тени»

@Рис. 6.1.15. Полутоновая морфологическая эрозия

@Рис. 6.1.16. Полутоновая морфологическая дилатация

Для полутоновых изображений существует аналог теоремы Матерона о представлении морфологических операторов в виде объединения зрозий. Кроме того, результаты здесь также могут быть представлены в двойственной форме, так как.

–(fk) = (–f)k~, где k~(x) = k(–x)

fk = –((–f)k~).

Выражения для операций открытия и закрытия для полутонового случая полностью эквивалентны формулам (6.1.1) и (6.1.2):

f◦k=(fk)k,

f·k=(fk)k

с учетом всех предыдущих выражений.