Морфологический подход ю.П. Пытьева.

Дальнейшим развитием идей корреляционного обнаружения с использованием эталонов является морфологический проекционный подход, предложенный Ю.П. Пытьевым /62/. Суть его заключается в следующем.

Пусть изображения являются элементами гильбертова пространства изображений fL₂^x, где х – поле зрения. Тогда можно говорить о норме изображения || f || и расстоянии между изображениями, равном ||f₁ - f₂||, где норма понимается как:

, (1.3.5)

Далее, пусть задано некоторое выпуклое и замкнутое подмножество изображений ZÎL₂^x. Тогда любому изображению fL₂^x может быть поставлено в соответствие изображение f_minÎ Z такое, что

||f_min-f|| = min{ ||g-f||, gÎZ }. (1.3.6)

Легко убедиться, что такое отображение v(f):fZ всегда будет проектором, в том (алгебраическом) смысле, что v(v(f))=v(f). Поэтому можно также обозначить f_min = Pr_Z(f), т.е." f_min есть проекция f на Z".

Используя введенное понятие проекции, можно определить численную меру близости изображения g к множеству изображений Z, а именно K(g,Z) (морфологический коэффициент корреляции), аналогичную обычной корреляционной мере близости двух изображений:

K(g,Z) = ||Pr_Z(g)|| / ||g||.

Легко убедиться, что морфологический коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. 0 £ К(f,Z) £1, fÎ L₂^x, ZÎ L₂^x;

2. ( K(f,Z) =1) <=> (fÎ Z).

Преимущества морфологического коэффициента корреляции связаны с возможностью более полного учета условий регистрации изображений. Пусть процесс регистрации изображения описывается при помощи некоторого преобразования tÎT эталонного изображения g(x,y)Î L₂^x, где T-некоторая группа преобразований. Определим форму изображения g как Z = { g'=t(g), tÎT }. Тогда при помощи K_T(f,g) = K(f,Z) можно сравнивать изображение с эталоном инвариантно к любым преобразованиям типа T.

Рассмотрим, например, общую модель яркостных преобразований изображения. Пусть эталонное изображение f является двумерной функцией интенсивности вида

f(x,y) = ,, (1.3.7)

где c_i - индикаторная функция i-й области разбиения кадра, т.е. , а a_i – уровень яркости i-й области. Множество изображений "той же формы" имеет вид:

Z = { f"(x,y) = }. (1.3.8)

Тогда проекционное преобразование можно считать параметрическим вида b_i = b(a_i), где i = 0..C-1, C-количество уровней яркости на изображении.

Для любого изображения g(x,y) проекция Pr_f(g) определяется тогда набором параметров b вида

b_i = ( g(x,y)c_i(x,y))dxdy ) / ((x,y)dxdy ), i=1,...,C-1. (1.3.9)

Вычисление этих параметров не сопряжено с трудностями и сколько-нибудь значительными вычислительными затратами. После вычисления проекции изображения g на форму эталона f, коэффициент морфологической корреляции K(g,f) вычисляется непосредственно.

По аналогии с обычным корреляционным обнаружением, морфологическое обнаружение изображения f по принципу максимума корреляционного коэффициента осуществляется по правилу:

. (1.3.10)

После этого, на основании полученного значения максимальной корреляции, может проверяться достоверность классификации. Если

K_T (f,g_i)  K_min, то обнаружение признается достоверным. В противном случае, объект считается нераспознанным.

Теперь можно проанализировать соотношение между обычной нормированной взаимно корреляционной функцией k_u и коэффициентом морфологической корреляции k_m

, (1.10.9)

. (1.10.10)

Геометрическую разницу между этими двумя величинами иллюстрирует рис.1.10., где обозначено  = arccos k_u,  = arccos k_m .

Рис.1.10.1

При этом связь между коэффициентами корреляции имеет вид:

k_m  k_u

Значительный интерес представляет случай, когда морфологическая и обычная корреляции совпадают: k_m = k_u.

Условие равенства морфологической и обычной корреляции имеют вид:

, (1.10.18)

где  - свободный параметр.

Условия (1.10.18) имеют весьма строгий характер, означая, что для совпадения морфологической и обычной корреляционных функций необходимо, чтобы средние значения яркости функций f и  совпадали с точностью до постоянного множителя по всем областям разбиения поля зрения.

Рассмотрим двухградационное эталонное изображение f, состоящее из объекта с яркостью с₂ и площадью ₂ на фоне яркости с₁ и площади ₁ и пусть изображение  есть изображение того же объекта, но сдвинутое в некотором направлении – рис.2.2.

Рис.1.10.2

Математическое исследование показывает, что при центрированной величине функций  и f в двухградационном случае морфологическая и обычная корреляционная функции идентичны.

Следует отметить, что, обладая высокой устойчивостью к радиометрическим преобразованиям и зашумлениям, морфологические алгоритмы обнаружения (по Пытьеву), не обеспечивают в то же время необходимой робастности при геометрических искажениях.

Кроме того, морфологический подход к обнаружению порождает и еще одну, новую трудность – необходимость параллельного анализа так называемой информативности изображения. Дело в том, что однородное поле зрения идеально коррелирует с любым объектом, и чтобы использовать морфологический коррелятор адекватно, нужно следить чтобы "информативность" сравниваемых изображений была достаточной, т.е. чтобы их яркостно-геометрические свойства были достаточно богатыми. По этим же причинам уровень аномальных ошибок морфологического коррелятора может превосходить соответствующие показатели обычных корреляционных алгоритмов.

Морфологические методы анализа сцен

Изображения одной и той же сцены могут заметно различаться между собой при вариации условий их регистрации - таких как освещение, оптические свойства поверхности объектов, свойства среды, влияющей на оптические свойства объекта, и пр. Этот факт усложняет задачу анализа сцен по их изображениям, поскольку связь между расположением объектов и распределением яркости на поле зрения неоднозначна. Тем не менее, если всевозможные изображения сцены могут быть описаны определенным классом преобразований, выполняемых над некоторым изображением этой сцены, то характеристикой формы объектов на изображении естественно считать максимальный инвариант данного класса преобразований. Поскольку этот инвариант, как правило, не позволяет восстановить форму объектов, он названформой изображения, а методы анализа изображений, основанные на этой идее –морфологическими(Пытьев, 1984 [38];Пытьев,Чуличков, 2010 [37]).

@Рис. 6.2.1. Идея морфологического выделения неизвестного объекта в известной сцене наблюдения.

Морфологические методы анализа изображений ориентированы на решение задач, которые могут быть сгруппированы в два больших класса. Первый класс включает задачи выделения неизвестных объектов на изображениях известной сцены, полученных при неизвестных условиях. Трудность, с которой традиционно сталкиваются при решении этой задачи, состоит в том, что изменение условий регистрации приводит к изменениям в изображении, часто более существенным, чем появление/исчезновение объектов на местности. Морфологические методы позволяют успешно справиться с этой задачей.

Идея морфологического решения такой задачи схематически показана на рис. 6.2.1. Пусть имеется два изображения одной и той же сцены – AиB, которые различаются тем, что, во-первых, сняты в различных условиях освещенности, в результате чего изменились яркостные (но не геометрические!) характеристики видимого поля, а во-вторых, на изображенииBпоявился небольшой объект, которого не было на изображенииA. Если мы просто сравним изображенияAиBмежду собой, то полученное разностное изображение не позволит нам оделить изменения в составе сцены от изменений яркости. Однако это возможно сделать, если сформировать такое вспомогательное изображениеC, которое имело быформуизображенияA, нояркостьэлементов этой формы оценивалась бы по изображениюB. Такое изображение в морфологии Пытьева называетсяпроекцией B на форму A. Алгоритм решения задачисравнения изображений по формес использованием морфологической проекции в рассматриваемом простейшем случае имеет следующий вид:

1. Выделить связные области на изображении A.

2. Вычислить среднюю яркость по областям A на B.

3. Сформировать C по форме A с яркостями из B.

4. Найти разность С и B.

5. Выделить область с существенной разностью интенсивностей пикселей.

Эта идея, несмотря на свою кажущуюся простоту, достаточно эффективно работает и на реальных изображениях. Пусть, например, имеется два изображения местности и объектов на ней, полученных зимой и летом (см. рис. 6.2.2 сверху). Пусть при предъявлении этих изображений для анализа необходимо выделить объект, отсутствующий на «летнем» изображении, но различимый на «зимнем». На рис. 6.2.2 внизу слева приведено изображение, яркость которого равна разности яркостей изображений сцены, полученных в разные сезоны года. Видно, что различие в условиях регистрации приводят к существенной разнице в яркостях. На этом же рисунке внизу справа приведена морфологическая разностьэтих же изображений, позволившая выделить объект (яркое пятно в правом нижнем углу), появившийся на сцене и не связанный с изменениями условий наблюдения.

@Рис. 6.2.2. Результат выделения отличий в сценах. Вверху - изображения одной и той же местности, полученные в разные сезоны года. Внизу слева – разность изображений, приведенных на рис.6.2.1, внизу справа – отличие изображениялетнего пейзажа от зимнегопо форме. Форму изображенияопределяют конфигурации областей его одинаковой яркости. Отличие по форме получается вычитанием средней яркостиизображенияна этих областях из яркости изображенияв каждой точке поля зрения. Отличие от нуля разностивозникают вследствие изменения конфигураций областей поля зрения равной яркости изображенияпо сравнению с конфигурациями соответствующих областей изображения, которые вызваны изменением сцены.

Второй класс задач связан с поиском известных объектов на неизвестной сцене. Например, пусть на изображении сцены, полученном в видимом диапазоне электромагнитного излучения (рис. 6.2.3 слева), требуется найти фрагмент (автомобиль), видимый на изображении ИК диапазона (рис. 6.2.3 справа).

Яркости участков поля зрения, соответствующие изображению автомобиля, существенно различаются, однако их структура («форма») сохраняется, что позволило определить координаты искомого фрагмента ИК изображения на видимом изображении, На рис. 6.2.4 приведен график зависимости близости по форме сравниваемых участков изображений от взаимного сдвига изображений (в условных единицах). Точка максимума соответствует наибольшему сходству изображений по форме и служит оценкой координат искомого фрагмента.

@Рис. 6.2.3. Изображение сцены (слева) и ее фрагмента, полученного видеосистемой с существенно меньшим пространственным разрешением (справа).

@Рис. 6.2.4. График зависимости близости по форме сравниваемых участков изображений, представленных на рис. 6.2.3, от взаимного сдвига изображений (в условных единицах). Точка максимума соответствует наибольшему сходству изображений по форме и служит оценкой координат искомого фрагмента.