14. Модель Леонтьєва або модель ”витрати - випуск”

Систему рівнянь Х_і Х_і чи у матричній формі X = AX + Y, називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати — випуск»). За допомогою цієї моделі можна виконати три варіанти обчислень:

1. задаючи в моделі обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i), можна визначити обсяги кінцевої продукції кожної галузі (Y_i):

Y = (E – A)X, (1)

де Е — одинична матриця n-го порядку;

2. задаючи обсяги кінцевої продукції всіх галузей (Y_i), можна визначити обсяги валової продукції кожної галузі (Х_i):

X = (E – A)^–1Y; (2)

3. для низки галузей задаючи обсяги валової продукції, а для решти — обсяги кінцевої продукції, можна відшукати величини кінцевої та валової продукції всіх галузей.

У формулах (1) та (2) Е позначає одиничну матрицю n-го порядку, а (Е – А)^–1 — матрицю, обернену до матриці (Е – А).

Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулеві, тобто ця матриця не вироджена, тоді існує матриця, обернена до неї. Позначимо цю матрицю через В:

B = (Е – А)^–1 (3)

Систему рівнянь у матричній формі (2) можна записати:

X = BY . (4)

Елементи матриці В позначатимемо через b_ij , тоді з матричного рівняння (4) для будь-якої і-ї галузі можна отримати співвідношення:

(5)