3.2. Метод Гаусса

Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие данный метод. Рассмотрим одну из них – схему единственного деления.

Для простоты ограничимся рассмотрением СЛАУ с четырьмя неизвестными:

(3.7)

Пусть a₁₁  0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение на a₁₁, получим первую главную строку:

(3.8)

где (j = 2,3,4,5).

Используя уравнение (3.8), можно исключить неизвестные x₁ из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (3.7). Для этого последовательно умножаем уравнение (3.8) на a₂₁; a₃₁; a₄₁ и вычитаем результат из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (3.7) соответственно.

В результате получим систему из трех уравнений:

(3.9)

где коэффициенты вычисляются по формуле

(i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4, 5). (3.10)

Далее первое уравнение системы (3.9) делим на ведущий элемент и получаем

(3.11)

где , (j = 3, 4, 5).

Аналогично предыдущему шагу, исключая x₂, как и x₁, получим систему

(3.12)

Здесь (i = 3, 4; j = 3, 4, 5).

Разделив первое уравнение системы (3.12) на , получим:

(3.13)

где (j = 4, 5).

Теперь с помощью уравнения (3.13) исключим x₃ из второго уравнения системы (3.12), окончательно получим:

, (3.14)

где (j=4, 5).

Таким образом, исходную систему (3.7) привели к составленной из главных строк (3.8), (3.11), (3.13) и (3.14) эквивалентной системе с треугольной матрицей(3.15):

(3.15)

Из (3.15) последовательно находим

(3.16)

Итак, решение СЛАУ (3.7) распадается на два этапа:

• прямой ход (приведение системы (3.7) к треугольному виду (3.15));

• обратный ход (определение неизвестных по формуле (3.16)).

Пример 3.3.

Прямой ход:

Из выражений (3.10) вычислим коэффициенты :

Аналогично вычислим коэффициенты при (i = 3, 4) и составим систему

Разделив первое уравнение системы на , получим

Значит,

Из (3.12) вычислим для i = 3 и j = 3, 4, 5:

Аналогично, вычислив коэффициенты для i = 4, получим:

Разделив первое уравнение на a⁽²⁾₃₃ = 16.425, получим:

где

По формуле (3.14) находим коэффициенты :

и записываем одно уравнение с одним неизвестным:

1.1199786x₄ = -1.1199768.

x₁ + 0.5x₂ - 0.05x₃ + 0.5x₄ = 1.35;

x₂ + 13.4x₃ - 29x₄ = 71.2;

x₃ - 1.72298x₄ = 4.72298;

1.11998x₄ = -1.11998.

На этом закончен прямой ход.

Обратный ход:

x₄ = -1.000;

x₃ = 4.72298 - 1.72298 = 3;

x₂ = 71.2 - 13.4 * 3-29 = 2;

x₁ = 1.35 - 0.5 * 2 + 0.05 * 3 + 0.5 = 1.