7.5. Задача обратного интерполирования

Пусть функция y = f(x) задана таблично. Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции y определить соответствующее значение аргумента x.

Для случая неравноотстоящих значений аргумента x₀, x₁,…, x_n задача может быть непосредственно решена с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. В этом случае достаточно принять переменную y за независимую и написать формулу (аналог выражения (7.3)), выражающую х как функцию у:

. (7.10)

Можно также, считая у аргументом, использовать формулу Ньютона:

(7.11)

Замечание. Обратное интерполирование корректно только для взаимно однозначных функций.

Пример 7.1. Исходная функция y = f(x) задана табл. 7.1:

Таблица 7.1

Необходимо найти значение функции y при x = 12; найти значение x, для которого y = 10.

Решение. В качестве примера задачу прямого интерполирования в начале таблицы с неравноотстоящими узлами решим по формулам Ньютона (7.8); для обратного интерполирования применим формулу Лагранжа (7.10).

y(12) = f(x₀) + (x –x₀)f(x₀, x₁) + (x –x₀) (x –x₁) f(x₀, x_1, x₂) +

+ (x –x₀) (x –x₁) (x –x₂) f(x₀, x_1, x₂, x₃) = 3 + 2·0.8 +

+ 2·(-3)·0.02857 + 2·(-3)·(-5)·(-0.002857) = 4.3429.

x(10) = 10·3·(-1)·(-7)/[(-4)(-8)(-14)] + 15·7·(-1)·(-7)/[4·(-4)(-10)] +

+ 17·7·3(-7)/[8·4·(-6)] + 20·7·4·1/[14·10·6] = 16.641.