3.1. Решение задач линейной алгебры

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛАУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п.

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3.1)

Или в матричной форме:

; (3.2)

где

(3.3)

- матрица коэффициентов системы (3.1);

- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

Если матрица A неособенная, т.е.

(3.4)

то система (3.1) или эквивалентное ей матричное уравнение (3.2) имеют единственное решение. Действительно, при условии, что detA  0, существует обратная матрица A^-1. Умножая обе части уравнения (3.2) слева на A^-1, получим:

(3.5)

Формула (3.5) даёт решение уравнения (3.2), причём единственное.

Пример 3.1.

Для матрицы A порядка n > 4 непосредственное нахождение обратной матрицы A^-1 требует много времени (операций). Поэтому формула (3.5) на практике употребляется достаточно редко.

Обычно значения неизвестных x_i (i = 1,2, ... n) могут быть получены по известным формулам Крамера:

(3.6)

Здесь матрица A_i получается из матрицы A заменой её i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 3.2. Решим вышеприведенную систему по формулам Крамера:

Применяемые в настоящее время методы решения СЛАУ можно разбить на две группы: точные и приближённые.

Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), за конечное число действий позволяют получить точные значения неизвестных x_i.

Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x₁, x₂, ..., x_n) лишь с заданной точностью. Точное решение СЛАУ в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса.

К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и т.п.