2.1. Постановка задачи

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой.

Мы будем рассматривать способы приближенного вычисления определенных интегралов

, (2.1)

основанные на замене интеграла конечной суммой:

, (2.2)

где С_k- числовые коэффициенты, а x_k  [a, b], k = 0, 1, …, n.

Приближенное равенство

(2.3)

называется квадратурной формулой, а x_k – узлами квадратурной формулы. Погрешность квадратурной формулы определяется соотношением

. (2.4)

В общем случае погрешность квадратурной формулы (2.4) зависит как от выбора коэффициентов С_к , так и от расположения узлов х_к. Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом h, тогда x_i = a + ih, где (i = 0, 1, ..., n; h·n = b-a). Теперь выражение (2.1) можно представить в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(2.5)

Таким образом, для построения формулы численного интегрирования на отрезке [a, b] достаточно построить квадратурную формулу на частичном отрезке [x_i-1, x_i] и воспользоваться формулой (2.5).