6.3. Метод Рунге-Кутта

Изложим идею метода на примере задачи Коши:

(6.7)

Интегрируя это уравнение в пределах от x до x + h (0 < h <1), получим равенство

(6.8)

которое посредством последнего интеграла связывает значения решения рассматриваемого уравнения в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние шага h.

Для удобства записи выражения (6.8) используем обозначение ∆y = y(x + h) – y(x) и замену переменной интегрирования t = x + h. Окончательно получим:

(6.9)

Указав эффективный метод приближенного вычисления интеграла в выражении (6.9), мы получим при этом одно из правил численного интегрирования уравнения (6.7).

Постараемся составить линейную комбинацию величин _i, i = 0, 1, ..., q, которая будет являться аналогом квадратурной суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения y:

(6.10)

где

Метод четвертого порядка для q = 3, являющийся аналогом широко известной в литературе четырехточечной квадратурной формулы "трех восьмых", имеет вид

(6.11)

где

Особо широко известно другое вычислительное правило типа Рунге-Кутта четвертого порядка точности:

(6.12)

где

Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ h⁴ ).

Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности m, то погрешность можно приближенно оценить по формуле

(6.13)

В формуле (6.13) O(x_i) – главный член погрешности, и - приближенные решения в точке x_i, найденные с шагом h и 2h соответственно.

Пример 6.1. Решить дифференциальное уравнение на отрезке [0, 1] c начальным условием y(x=0) = 1. Найти первые три точки, приняв шаг h = 0.05.

Решение. Поставленная задача была решена методом разложения в ряд Тейлора (6.3); методом Эйлера (6.6) и методом Рунге-Кутта (6.12). Для наглядности все полученные результаты сведем в табл. 6.1.

Таблица 6.1