Основные свойства матрицы Грама

1. Матрица симметрична относительно главной диагонали, то есть .

2. Матрица является положительно определенной. Следовательно, при решении методом Гаусса можно воспользоваться схемой единственного деления.

3. Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ; в этом случае система (7.18) имеет единственное решение.

В качестве базисных можно выбрать линейно независимые степенные функции

(7.23)

Следует учесть, что n << k. Тогда для этих функций расширенная матрица Грама примет вид

(7.24)

Если выбрать n = k, то на основании единственности интерполяционного полинома получим функцию , совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени k. При этом аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки, и функция S будет равна нулю.

Пример 7.2. Исходная функция y = f(x) задана в виде табл. 7.2:

Таблица 7.2

Аппроксимируем экспериментальные данные линейной либо квадратичной функцией. Методом наименьших квадратов необходимо уточнить коэффициенты аппроксимирующего полинома.

Решение

1. При линейной аппроксимации исходную зависимость представим в виде , где . Методом наименьших квадратов определим a₀ и a₁. Расширенная матрица Грама в нашем случае имеет вид

 ; а₁ = 1.3774; а₀ =-11.8491.

Таким образом, аппроксимирующая функция равна

Оценим погрешность формулы, и результаты этой оценки сведем в табл. 7.3:

Таблица 7.3

Для нашей линейной функции S₁ = 6.4528.

2. Решим ту же задачу, аппроксимировав эмпирические данные полиномом второй степени: .

Матрица Грама в этом случае имеет вид

Все результаты сведены в табл. 7.4.

Таблица 7.4

S₂ = 0.2883.

Обсуждение результатов

1. Аппроксимировав эмпирические результаты более простой функцией (линейной), мы получили погрешность в различных узловых точках, лежащую в пределах от 5 до 35 %.

2. Более сложная формула квадратичной интерполяции обеспечивает погрешность не более 5 %.

3. Косвенную оценку погрешности можно провести, сравнив значения S₁ и S₂.

4. Матрица Грама для полинома второй, третьей степени имеет простой вид и может быть решена, например, методом Гаусса.