4.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξ уравнения

f(x) = 0, (4.13)

отделен на отрезке [a, b], причем первая и вторая производные f(x) и f(x) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь n-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть

ξ = x_n + h_n, (4.14)

где h_n - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно h_n)

f(x_n + h_n) = f(x_n) + h_n f(x_n) = 0. (4.15)

Следовательно,

h_n = - f(x_n) / f (x_n). (4.16)

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:

(4.17)

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 4.3.).

Рис. 4.3. Уточнение корня методом касательных

Если в качестве начального приближения выбрать точку х₀ = В₀ , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку х₀ = А₀, то х₁ [a, b], и процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве х₀ выбрать точку, где f(x)·f(x) > 0.