5.2. Метод градиента (метод скорейшего спуска)

Пусть имеется система нелинейных уравнений:

(5.13)

Систему (5.13) удобнее записать в матричном виде:

(5.14)

где - вектор – функция; - вектор – аргумент.

Решение системы (5.14), как и для системы линейных уравнений (см. п. 3.8), будем искать в виде

(5.15)

Здесь и - векторы неизвестных на p и p+1 шагах итераций; вектор невязок на p-ом шаге – f^(p) = f(x^(p)); W'_p – транспонированная матрица Якоби на p – ом шаге;

;

.

Пример 5.2. Методом градиента вычислим приближенно корни системы

расположенные в окрестности начала координат.

Имеем:

Выберем начальное приближение:

По вышеприведенным формулам найдем первое приближение:

Аналогичным образом находим следующее приближение:

Ограничимся двумя итерациями (шагами), и оценим невязку:

Замечания

• Как видно из примера, решение достаточно быстро сходится, невязка быстро убывает.

• При решении системы нелинейных уравнений методом градиента матрицу Якоби необходимо пересчитывать на каждом шаге (итерации).