2.4. Формула Симпсона

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки (x_j, f(x_j)), где j = i-1; i-0.5; i, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(2.14)

Проведя интегрирование, получим:

(2.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке [a, b] формула Симпсона примет вид

(2.16)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(2.17)

Тогда формула Симпсона примет вид

(2.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (2.19)

где h·n = b - a, . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O(h⁴).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.